bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.5% → 97.7%

Time: 17.3s

Alternatives: 8

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -2.849690489837635e+225

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 1.00005)
   (+
    (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))
   (- (log (/ x (sinh x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.00005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
	} else {
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x) / x) <= 1.00005d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
    else
        tmp = -log((x / sinh(x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x) / x) <= 1.00005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
	} else {
		tmp = -Math.log((x / Math.sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x) / x) <= 1.00005:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))
	else:
		tmp = -math.log((x / math.sinh(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 1.00005)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x / sinh(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.00005)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
	else
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 1.00005], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x / N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00005000000000011

   1. Initial program 51.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00005000000000011 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 42.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. clear-num 42.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 43.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 43.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.00005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (* (sqrt 0.16666666666666666) (* x (* x (sqrt 0.16666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (sqrt(0.16666666666666666d0) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * Math.sqrt(0.16666666666666666)))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (math.sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * math.sqrt(0.16666666666666666)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(x * Float64(x * sqrt(0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (sqrt(0.16666666666666666) * (x * (x * sqrt(0.16666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 47.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

4. Applied egg-rr 94.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. associate-*r* 95.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}\right) \]

6. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}\right) \]

7. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

Alternative 4: 97.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000002:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 1.000002)
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
   (- (log (/ x (sinh x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.000002) {
		tmp = 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x) / x) <= 1.000002d0) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
    else
        tmp = -log((x / sinh(x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x) / x) <= 1.000002) {
		tmp = 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = -Math.log((x / Math.sinh(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x) / x) <= 1.000002:
		tmp = 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)
	else:
		tmp = -math.log((x / math.sinh(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 1.000002)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(-log(Float64(x / sinh(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x) / x) <= 1.000002)
		tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
	else
		tmp = -log((x / sinh(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 1.000002], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], (-N[Log[N[(x / N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision])]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000200000000006

   1. Initial program 51.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00000200000000006 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 44.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. clear-num 44.5%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

      2. neg-log 44.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 44.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000002:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 97.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000002:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000002) (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)) (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000002) {
		tmp = 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.000002d0) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000002) {
		tmp = 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.000002:
		tmp = 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000002)
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.000002)
		tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000002], N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000200000000006

   1. Initial program 51.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   if 1.00000200000000006 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 44.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000002:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 97.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+ (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0)) (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}}\right) \]

   2. pow2 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)}^{2}}\right) \]

   3. *-commutative 94.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2}\right) \]

   4. sqrt-prod 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left(\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2}\right) \]

   5. unpow2 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   6. sqrt-prod 47.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}\right) \]

4. Applied egg-rr 94.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   2. swap-sqr 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}\right) \]

   3. rem-square-sqrt 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \]

   4. associate-*l* 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 94.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

7. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 7: 96.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 94.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 8: 96.4% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 93.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. sqrt-unprod 70.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. *-commutative 70.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. *-commutative 70.2%

      \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   5. swap-sqr 70.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   6. pow-prod-up 70.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. metadata-eval 70.3%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. metadata-eval 70.3%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

4. Applied egg-rr 70.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod 70.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}} \]

   2. metadata-eval 70.4%

      \[\leadsto \sqrt{{x}^{4}} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]

   3. sqrt-pow1 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   4. metadata-eval 94.1%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   5. unpow2 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   6. associate-*r* 94.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. *-commutative 94.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 94.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023314 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))