2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 98.1%

Time: 8.2s

Alternatives: 3

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.1% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ t_2 := 0.3333333333333333 \cdot t_1\\ t_3 := \sin t_2 \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\\ t_4 := \cos t_2\\ 2 \cdot \frac{{\left(t_0 \cdot t_4\right)}^{3} - {t_3}^{3}}{\mathsf{fma}\left(t_3, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + t_1 \cdot -0.3333333333333333\right), t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \left(t_4 \cdot t_4\right)\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* 0.6666666666666666 PI)))
        (t_1 (acos (/ g h)))
        (t_2 (* 0.3333333333333333 t_1))
        (t_3 (* (sin t_2) (sin (* 0.6666666666666666 PI))))
        (t_4 (cos t_2)))
   (*
    2.0
    (/
     (- (pow (* t_0 t_4) 3.0) (pow t_3 3.0))
     (fma
      t_3
      (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* t_1 -0.3333333333333333)))
      (* t_0 (* t_0 (* t_4 t_4))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	double t_1 = acos((g / h));
	double t_2 = 0.3333333333333333 * t_1;
	double t_3 = sin(t_2) * sin((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)));
	double t_4 = cos(t_2);
	return 2.0 * ((pow((t_0 * t_4), 3.0) - pow(t_3, 3.0)) / fma(t_3, cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (t_1 * -0.3333333333333333))), (t_0 * (t_0 * (t_4 * t_4)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = cos(Float64(0.6666666666666666 * pi))
	t_1 = acos(Float64(g / h))
	t_2 = Float64(0.3333333333333333 * t_1)
	t_3 = Float64(sin(t_2) * sin(Float64(0.6666666666666666 * pi)))
	t_4 = cos(t_2)
	return Float64(2.0 * Float64(Float64((Float64(t_0 * t_4) ^ 3.0) - (t_3 ^ 3.0)) / fma(t_3, cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(t_1 * -0.3333333333333333))), Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(t_4 * t_4))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.3333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Power[N[(t$95$0 * t$95$4), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] - N[Power[t$95$3, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$3 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(t$95$4 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. cos-sum 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   2. flip3-- 97.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)}} \]

5. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 98.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \color{blue}{\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) + \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   3. *-commutative 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   4. *-commutative 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   5. *-commutative 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. cos-diff 99.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   7. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi - \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)}\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. cancel-sign-sub-inv 99.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \left(-0.3333333333333333\right) \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   9. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + -0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

10. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \sin \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot -0.3333333333333333\right), \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \cdot \left(\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 3: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos((g / h)))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 52.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   3. sqrt-unprod 93.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   4. sqr-neg 93.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   5. sqrt-unprod 46.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   6. add-sqr-sqrt 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   7. metadata-eval 98.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \]

5. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) \]

6. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023314 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))