Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 76.4% → 99.5%

Time: 15.9s

Alternatives: 12

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 76.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0004 \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{-5}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (if (or (<= x -0.0004) (not (<= x 2e-5)))
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (/ t_0 (- (* 0.09375 (pow x 2.0)) 0.75)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.0004) || !(x <= 2e-5)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / ((0.09375 * pow(x, 2.0)) - 0.75);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    if ((x <= (-0.0004d0)) .or. (.not. (x <= 2d-5))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = t_0 / ((0.09375d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.0004) || !(x <= 2e-5)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / ((0.09375 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.75);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -0.0004) or not (x <= 2e-5):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = t_0 / ((0.09375 * math.pow(x, 2.0)) - 0.75)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0004) || !(x <= 2e-5))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(Float64(0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0004) || ~((x <= 2e-5)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = t_0 / ((0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -0.0004], N[Not[LessEqual[x, 2e-5]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(N[(0.09375 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.00000000000000019e-4 or 2.00000000000000016e-5 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity 98.9%

         \[\leadsto \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\sin x \cdot 1}} \]

      2. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{-1}}} \]

      3. times-frac 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{-1}{-1}}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{-1}{-1}} \]

      5. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}{-1}} \]

      6. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1} \]

      7. neg-mul-1 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{-1} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{-1} \]

      10. times-frac 98.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot -1}} \]

      11. associate-/l/ 98.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{-1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      12. associate-/l* 98.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665\right)}}{\sin x} \]

      2. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

      4. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -4.00000000000000019e-4 < x < 2.00000000000000016e-5

   1. Initial program 48.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 48.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      3. associate-/r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. *-un-lft-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      5. times-frac 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0004 \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{-5}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (/ t_0 (* 0.375 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = t_0 / (0.375d0 * (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return t_0 / (0.375 * (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(0.375 * Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(0.375 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. *-un-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. times-frac 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 3: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 4: 99.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0049:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) + -1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.5 (/ (cos (- x)) 2.0))))
   (if (<= x -0.0049)
     (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) t_0))
     (if (<= x 0.0058)
       (/ (sin (* x -0.5)) (- (* 0.09375 (pow x 2.0)) 0.75))
       (+ (+ 1.0 (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (sin x)))) -1.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 - (cos(-x) / 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.0049) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * pow(x, 2.0)) - 0.75);
	} else {
		tmp = (1.0 + (2.6666666666666665 * (t_0 / sin(x)))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 - (cos(-x) / 2.0d0)
    if (x <= (-0.0049d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / t_0)
    else if (x <= 0.0058d0) then
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / ((0.09375d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.75d0)
    else
        tmp = (1.0d0 + (2.6666666666666665d0 * (t_0 / sin(x)))) + (-1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 - (Math.cos(-x) / 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.0049) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.75);
	} else {
		tmp = (1.0 + (2.6666666666666665 * (t_0 / Math.sin(x)))) + -1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 - (math.cos(-x) / 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.0049:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / t_0)
	elif x <= 0.0058:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * math.pow(x, 2.0)) - 0.75)
	else:
		tmp = (1.0 + (2.6666666666666665 * (t_0 / math.sin(x)))) + -1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(-x)) / 2.0))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0049)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / t_0));
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / Float64(Float64(0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / sin(x)))) + -1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 - (cos(-x) / 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.0049)
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75);
	else
		tmp = (1.0 + (2.6666666666666665 * (t_0 / sin(x)))) + -1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 - N[(N[Cos[(-x)], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.0049], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0058], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(0.09375 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0048999999999999998

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      5. count-2 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

      8. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

      9. neg-mul-1 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}} \]

   if -0.0048999999999999998 < x < 0.0058

   1. Initial program 48.4%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      3. associate-/r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. *-un-lft-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      5. times-frac 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]

   if 0.0058 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      3. associate-/r/ 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. *-un-lft-identity 98.7%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      5. times-frac 98.8%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 98.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      2. times-frac 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{0.375} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}{\sin x} \]

      6. expm1-log1p-u 72.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\right)\right)} \]

      7. expm1-udef 71.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\right)} - 1} \]

      8. log1p-udef 71.6%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\right)}} - 1 \]

      9. rem-exp-log 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\right)} - 1 \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\right) - 1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   9. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x}\right) - 1 \]
   10. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

       2. +-inverses 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

       3. cos-0 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

       4. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

       5. count-2 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

       6. *-commutative 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

       7. associate-*r* 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

       8. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

       9. neg-mul-1 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   11. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}{\sin x}\right) - 1 \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0049:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}{\sin x}\right) + -1\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0049:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot t_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.5 (/ (cos (- x)) 2.0))))
   (if (<= x -0.0049)
     (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) t_0))
     (if (<= x 0.0058)
       (/ (sin (* x -0.5)) (- (* 0.09375 (pow x 2.0)) 0.75))
       (/ 1.0 (/ (sin x) (* 2.6666666666666665 t_0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 - (cos(-x) / 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.0049) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * pow(x, 2.0)) - 0.75);
	} else {
		tmp = 1.0 / (sin(x) / (2.6666666666666665 * t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 - (cos(-x) / 2.0d0)
    if (x <= (-0.0049d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / t_0)
    else if (x <= 0.0058d0) then
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / ((0.09375d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.75d0)
    else
        tmp = 1.0d0 / (sin(x) / (2.6666666666666665d0 * t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 - (Math.cos(-x) / 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.0049) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.75);
	} else {
		tmp = 1.0 / (Math.sin(x) / (2.6666666666666665 * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 - (math.cos(-x) / 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.0049:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / t_0)
	elif x <= 0.0058:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * math.pow(x, 2.0)) - 0.75)
	else:
		tmp = 1.0 / (math.sin(x) / (2.6666666666666665 * t_0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(-x)) / 2.0))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0049)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / t_0));
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / Float64(Float64(0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(sin(x) / Float64(2.6666666666666665 * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 - (cos(-x) / 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.0049)
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75);
	else
		tmp = 1.0 / (sin(x) / (2.6666666666666665 * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 - N[(N[Cos[(-x)], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.0049], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0058], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(0.09375 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(2.6666666666666665 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0048999999999999998

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      5. count-2 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

      8. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

      9. neg-mul-1 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}} \]

   if -0.0048999999999999998 < x < 0.0058

   1. Initial program 48.4%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      3. associate-/r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. *-un-lft-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      5. times-frac 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]

   if 0.0058 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      5. count-2 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. *-commutative 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

      7. associate-*r* 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

      8. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

      9. neg-mul-1 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0049:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}\right)}}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0062 \lor \neg \left(x \leq 0.006\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, \frac{1.5}{x}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0062) (not (<= x 0.006)))
   (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) (- 0.5 (/ (cos (- x)) 2.0))))
   (/ 1.0 (fma x -0.125 (/ 1.5 x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0062) || !(x <= 0.006)) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 - (cos(-x) / 2.0)));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(x, -0.125, (1.5 / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0062) || !(x <= 0.006))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(-x)) / 2.0))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(x, -0.125, Float64(1.5 / x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0062], N[Not[LessEqual[x, 0.006]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(0.5 - N[(N[Cos[(-x)], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(x * -0.125 + N[(1.5 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.00619999999999999978 or 0.0060000000000000001 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. pow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      5. count-2 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

      7. associate-*r* 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

      8. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

      9. neg-mul-1 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}} \]

   if -0.00619999999999999978 < x < 0.0060000000000000001

   1. Initial program 48.4%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.125 \cdot x + 1.5 \cdot \frac{1}{x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot -0.125} + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \]

      2. fma-def 99.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, 1.5 \cdot \frac{1}{x}\right)}} \]

      3. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, \color{blue}{\frac{1.5 \cdot 1}{x}}\right)} \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, \frac{\color{blue}{1.5}}{x}\right)} \]

   8. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, \frac{1.5}{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0062 \lor \neg \left(x \leq 0.006\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.125, \frac{1.5}{x}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0049 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0049) (not (<= x 0.0058)))
   (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) (- 0.5 (/ (cos (- x)) 2.0))))
   (/ (sin (* x -0.5)) (- (* 0.09375 (pow x 2.0)) 0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0049) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 - (cos(-x) / 2.0)));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * pow(x, 2.0)) - 0.75);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.0049d0)) .or. (.not. (x <= 0.0058d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / (0.5d0 - (cos(-x) / 2.0d0)))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / ((0.09375d0 * (x ** 2.0d0)) - 0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0049) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / (0.5 - (Math.cos(-x) / 2.0)));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * Math.pow(x, 2.0)) - 0.75);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.0049) or not (x <= 0.0058):
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / (0.5 - (math.cos(-x) / 2.0)))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * math.pow(x, 2.0)) - 0.75)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0049) || !(x <= 0.0058))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / Float64(0.5 - Float64(cos(Float64(-x)) / 2.0))));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / Float64(Float64(0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0049) || ~((x <= 0.0058)))
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 - (cos(-x) / 2.0)));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.09375 * (x ^ 2.0)) - 0.75);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0049], N[Not[LessEqual[x, 0.0058]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(0.5 - N[(N[Cos[(-x)], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(0.09375 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0048999999999999998 or 0.0058 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. pow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}} \]

      5. count-2 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}} \]

      7. associate-*r* 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}} \]

      8. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}} \]

      9. neg-mul-1 98.5%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}} \]

   if -0.0048999999999999998 < x < 0.0058

   1. Initial program 48.4%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 48.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      12. sin-neg 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      13. neg-mul-1 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      14. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

      15. associate-/l* 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      3. associate-/r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. *-un-lft-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

      5. times-frac 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0049 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 55.7% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1.3333333333333333 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 1.3333333333333333 (sin (* x 0.5))))

C

double code(double x) {
	return 1.3333333333333333 * sin((x * 0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.3333333333333333d0 * sin((x * 0.5d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.3333333333333333 * Math.sin((x * 0.5));
}

Python

def code(x):
	return 1.3333333333333333 * math.sin((x * 0.5))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.3333333333333333 * sin(Float64(x * 0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.3333333333333333 * sin((x * 0.5));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.3333333333333333 * N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. times-frac 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot \sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{-\sin x}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin \left(-x\right)}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. associate-/r* 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 58.6%

   \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

5. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto 1.3333333333333333 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

Alternative 9: 55.9% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x -0.5)) -0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * -0.5)) / -0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

   3. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. *-un-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

   5. times-frac 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 58.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

7. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \]

Alternative 10: 52.2% accurate, 28.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (+ (* x -0.125) (* 1.5 (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / ((x * (-0.125d0)) + (1.5d0 * (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.125) + Float64(1.5 * Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(x * -0.125), $MachinePrecision] + N[(1.5 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

5. Applied egg-rr 71.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 55.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.125 \cdot x + 1.5 \cdot \frac{1}{x}}} \]

7. Final simplification 55.2%

   \[\leadsto \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 11: 51.6% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

5. Final simplification 54.6%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Alternative 12: 51.9% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x 1.5))

C

double code(double x) {
	return x / 1.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / 1.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / 1.5;
}

Python

def code(x):
	return x / 1.5

Julia

function code(x)
	return Float64(x / 1.5)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / 1.5;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / 1.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 71.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 71.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot x}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot x}} \]

   2. pow3 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot x}\right)}^{3}} \]

   3. *-commutative 53.6%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}}\right)}^{3} \]

6. Applied egg-rr 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666666}\right)}^{3}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   2. metadata-eval 54.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

   3. div-inv 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

8. Applied egg-rr 54.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

9. Final simplification 54.9%

   \[\leadsto \frac{x}{1.5} \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023312 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))