Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.3% → 97.8%

Time: 6.4s

Alternatives: 8

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ t_1 := \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -0.05:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x))) (t_1 (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))
   (if (<= t_1 -0.05)
     t_1
     (/
      (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))
      (+ 2.0 (fma x x (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	double t_1 = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.05) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + fma(x, x, (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	t_1 = Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -0.05)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / Float64(2.0 + fma(x, x, Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, -0.05], t$95$1, N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 99.3%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   if -0.050000000000000003 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))))

   1. Initial program 7.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 96.5%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 96.5%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

      2. unpow2 96.5%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      3. fma-def 96.5%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 96.5%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))
  (+ 2.0 (fma x x (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (2.0 + fma(x, x, (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / Float64(2.0 + fma(x, x, Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 94.5%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   2. unpow2 94.5%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   3. fma-def 94.5%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

5. Applied egg-rr 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

6. Final simplification 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

Alternative 3: 97.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Final simplification 94.5%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 4: 97.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  x
  (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (* 0.13333333333333333 (pow x 5.0)))))

C

double code(double x) {
	return x + ((pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * pow(x, 5.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (0.13333333333333333d0 * (x ** 5.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * Math.pow(x, 5.0)));
}

Python

def code(x):
	return x + ((math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * math.pow(x, 5.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(0.13333333333333333 * (x ^ 5.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * (x ^ 5.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.13333333333333333 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

3. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

Alternative 5: 96.8% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 93.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 93.8%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 93.8%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Simplified 93.8%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

6. Final simplification 93.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 6: 97.1% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 93.8%

      \[\leadsto x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

4. Simplified 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

5. Final simplification 93.8%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]

Alternative 7: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.5)

C

double code(double x) {
	return 1.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.5;
}

Python

def code(x):
	return 1.5

Julia

function code(x)
	return 1.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.5;
end

Wolfram

code[x_] := 1.5

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

4. Applied egg-rr 4.3%

   \[\leadsto x + \left(\color{blue}{1.5} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1.5} \]

6. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1.5 \]

Alternative 8: 96.8% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 93.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023311 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))