UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 26.6s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))
     (+
      (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)
      (* (sin (* 2.0 (cbrt (* (pow PI 3.0) (pow uy 3.0))))) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux))))) * ((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (sinf((2.0f * cbrtf((powf(((float) M_PI), 3.0f) * powf(uy, 3.0f))))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))) * Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * cbrt(Float32((Float32(pi) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0)))))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   2. add-cbrt-cube 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}} \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

   3. add-cbrt-cube 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy}}\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

   4. cbrt-unprod 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   5. pow3 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\pi}^{3}} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   6. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{3} \cdot \color{blue}{{uy}^{3}}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{{\pi}^{3} \cdot {uy}^{3}}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

6. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \sqrt[3]{{\pi}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + \left(1 + \left(-1 - {\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sin t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* PI (* 2.0 uy))))
   (+
    (+
     (*
      xi
      (*
       (cos t_1)
       (sqrt (+ 1.0 (+ 1.0 (- -1.0 (pow (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) 2.0)))))))
     (* yi (* (sin t_1) (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f + (1.0f + (-1.0f - powf(((1.0f - ux) * (ux * maxCos)), 2.0f))))))) + (yi * (sinf(t_1) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-1.0) - (Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) ^ Float32(2.0)))))))) + Float32(yi * Float32(sin(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = single(pi) * (single(2.0) * uy);
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) + (single(1.0) + (single(-1.0) - (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) ^ single(2.0)))))))) + (yi * (sin(t_1) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. expm1-log1p-u 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. expm1-udef 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} - 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. log1p-udef 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} - 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. add-exp-log 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} - 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. pow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + \color{blue}{{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}^{2}}\right) - 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 + {\left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right)}^{2}\right) - 1\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 + {\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right) - 1\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + \left(-1 - {\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}^{2}\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, yi \cdot \sin t_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (fma
    (cos t_0)
    (*
     xi
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)))))
    (+ (* yi (sin t_0)) (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return fmaf(cosf(t_0), (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))))), ((yi * sinf(t_0)) + (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return fma(cos(t_0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 98.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos t_1 \cdot xi + yi \cdot \sin t_1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)) (t_1 (* 2.0 (* uy PI))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))
     (+ (* (cos t_1) xi) (* yi (sin t_1)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux))))) * ((cosf(t_1) * xi) + (yi * sinf(t_1)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))) * Float32(Float32(cos(t_1) * xi) + Float32(yi * sin(t_1)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 5: 91.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}\\ t_2 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq 1.3500000153195922 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, t_1 \cdot \left(\cos t_2 \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, t_1 \cdot \left(xi + yi \cdot \sin t_2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux))))))
        (t_2 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= yi 1.3500000153195922e-18)
     (fma t_0 (* ux zi) (* t_1 (+ (* (cos t_2) xi) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))
     (fma t_0 (* ux zi) (* t_1 (+ xi (* yi (sin t_2))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux)))));
	float t_2 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (yi <= 1.3500000153195922e-18f) {
		tmp = fmaf(t_0, (ux * zi), (t_1 * ((cosf(t_2) * xi) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))))));
	} else {
		tmp = fmaf(t_0, (ux * zi), (t_1 * (xi + (yi * sinf(t_2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux)))))
	t_2 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(1.3500000153195922e-18))
		tmp = fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(t_1 * Float32(Float32(cos(t_2) * xi) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))));
	else
		tmp = fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(t_1 * Float32(xi + Float32(yi * sin(t_2)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < 1.35000002e-18

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in uy around 0 92.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 92.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

   6. Simplified 92.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

   if 1.35000002e-18 < yi

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in uy around 0 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq 1.3500000153195922 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 91.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}\\ t_2 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq 1.3500000153195922 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, t_1 \cdot \left(\cos t_2 \cdot xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, t_1 \cdot \left(xi + yi \cdot \sin t_2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux))))))
        (t_2 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= yi 1.3500000153195922e-18)
     (fma t_0 (* ux zi) (* t_1 (+ (* (cos t_2) xi) (* uy (* 2.0 (* PI yi))))))
     (fma t_0 (* ux zi) (* t_1 (+ xi (* yi (sin t_2))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux)))));
	float t_2 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (yi <= 1.3500000153195922e-18f) {
		tmp = fmaf(t_0, (ux * zi), (t_1 * ((cosf(t_2) * xi) + (uy * (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))));
	} else {
		tmp = fmaf(t_0, (ux * zi), (t_1 * (xi + (yi * sinf(t_2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux)))))
	t_2 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(1.3500000153195922e-18))
		tmp = fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(t_1 * Float32(Float32(cos(t_2) * xi) + Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))));
	else
		tmp = fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(t_1 * Float32(xi + Float32(yi * sin(t_2)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < 1.35000002e-18

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

      2. pow2 98.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   6. Taylor expanded in uy around 0 92.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 82.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

      2. *-commutative 82.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* 82.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative 82.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

   if 1.35000002e-18 < yi

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in uy around 0 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq 1.3500000153195922 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ zi \cdot t_1 + \left(xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 + t_1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* 2.0 uy))) (t_1 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* zi t_1)
    (+
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	float t_1 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (zi * t_1) + ((xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(zi * t_1) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (single(2.0) * uy);
	t_1 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (zi * t_1) + ((xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)}\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) \]

Alternative 8: 88.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))
     (+ xi (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux))))) * (xi + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))) * Float32(xi + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 88.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

5. Final simplification 88.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 84.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (if (<= uy 0.05999999865889549)
     (fma
      t_0
      (* ux zi)
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))
       (+ xi (* uy (* 2.0 (* PI yi))))))
     (fma
      (cos (* 2.0 (* uy PI)))
      (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
      (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float tmp;
	if (uy <= 0.05999999865889549f) {
		tmp = fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux))))) * (xi + (uy * (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))));
	} else {
		tmp = fmaf(cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.05999999865889549))
		tmp = fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))) * Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))));
	else
		tmp = fma(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0599999987

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

      2. pow2 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   6. Taylor expanded in uy around 0 93.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot {\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in uy around 0 89.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

      2. *-commutative 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

   if 0.0599999987 < uy

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

      2. associate-*l* 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

      3. fma-def 96.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   3. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in uy around 0 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in ux around 0 54.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.05999999865889549:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 81.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* (* maxCos (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))
     (+ xi (* uy (* 2.0 (* PI yi))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (t_0 * ((maxCos * (ux + -1.0f)) * (ux * ux))))) * (xi + (uy * (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))) * Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

   2. pow2 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

6. Taylor expanded in uy around 0 88.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot {\left(\sqrt{uy \cdot \pi}\right)}^{2}\right) \cdot yi\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 80.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 80.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 80.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* 80.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative 80.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

9. Simplified 80.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

10. Final simplification 80.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 11: 51.9% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (*
   xi
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)))))
  (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 12: 51.9% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (*
   xi
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)))))
  (* maxCos (* ux (- zi (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * (zi - (ux * zi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi - Float32(ux * zi)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot zi + \left(-ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\color{blue}{zi} + \left(-ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi + \left(-ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

10. Final simplification 51.6%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 13: 51.8% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
  (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 51.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 51.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 14: 51.8% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
  (* maxCos (* ux (- zi (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * (zi - (ux * zi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi - Float32(ux * zi)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 51.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot zi + \left(-ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\color{blue}{zi} + \left(-ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 51.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(zi + \left(-ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

11. Final simplification 51.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 15: 49.6% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
  (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))), (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

   2. associate-*l* 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi\right)} + \left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right) \]

   3. fma-def 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot xi, \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi\right)} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 59.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 51.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 51.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0 49.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 49.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right) \]

11. Simplified 49.8%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right) \]

12. Final simplification 49.8%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023310 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))