bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.5% → 96.9%

Time: 18.8s

Alternatives: 5

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.6187483880355172e+296

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+
   (* -2.6455026455026456e-5 (pow x 8.0))
   (+
    (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * pow(x, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-2.6455026455026456d-5) * (x ** 8.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * Math.pow(x, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * math.pow(x, 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

3. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

Alternative 2: 97.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

Alternative 3: 96.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   2. add-sqr-sqrt 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   3. fma-def 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. *-commutative 98.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   5. sqrt-prod 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   6. unpow2 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   7. sqrt-prod 48.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   8. add-sqr-sqrt 74.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   9. *-commutative 74.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   10. sqrt-prod 74.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{\sqrt{{x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   11. unpow2 74.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \sqrt{\color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   12. sqrt-prod 48.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   13. add-sqr-sqrt 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, \color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   2. unpow2 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

6. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

   4. swap-sqr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

   5. rem-square-sqrt 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

   6. associate-*r* 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 4: 96.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * pow(x, 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 5: 50.3% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. clear-num 51.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

   2. neg-log 51.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

3. Applied egg-rr 51.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 50.3%

   \[\leadsto -\log \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 50.3%

   \[\leadsto 0 \]

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023308 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))