Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 76.7% → 99.5%

Time: 19.2s

Alternatives: 17

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 76.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\\ t_1 := 0.375 \cdot \sin x\\ \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \frac{1}{t_1}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{t_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin (* x 0.5)) 2.0)) (t_1 (* 0.375 (sin x))))
   (if (<= x -2.5e-8)
     (* t_0 (/ 1.0 t_1))
     (if (<= x 5e-16) (/ x 1.5) (/ t_0 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(sin((x * 0.5)), 2.0);
	double t_1 = 0.375 * sin(x);
	double tmp;
	if (x <= -2.5e-8) {
		tmp = t_0 * (1.0 / t_1);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 / t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0
    t_1 = 0.375d0 * sin(x)
    if (x <= (-2.5d-8)) then
        tmp = t_0 * (1.0d0 / t_1)
    else if (x <= 5d-16) then
        tmp = x / 1.5d0
    else
        tmp = t_0 / t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0);
	double t_1 = 0.375 * Math.sin(x);
	double tmp;
	if (x <= -2.5e-8) {
		tmp = t_0 * (1.0 / t_1);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 / t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0)
	t_1 = 0.375 * math.sin(x)
	tmp = 0
	if x <= -2.5e-8:
		tmp = t_0 * (1.0 / t_1)
	elif x <= 5e-16:
		tmp = x / 1.5
	else:
		tmp = t_0 / t_1
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0
	t_1 = Float64(0.375 * sin(x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.5e-8)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 / t_1));
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = Float64(x / 1.5);
	else
		tmp = Float64(t_0 / t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5)) ^ 2.0;
	t_1 = 0.375 * sin(x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.5e-8)
		tmp = t_0 * (1.0 / t_1);
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = x / 1.5;
	else
		tmp = t_0 / t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2.5e-8], N[(t$95$0 * N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-16], N[(x / 1.5), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2.4999999999999999e-8

   1. Initial program 99.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      4. clear-num 99.2%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. un-div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. *-un-lft-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. times-frac 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

      2. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      6. unpow2 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      7. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      8. div-inv 99.2%

         \[\leadsto {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      9. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{0.375}} \]

      10. *-commutative 99.2%

          \[\leadsto {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.375 \cdot \sin x}} \]

   7. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{0.375 \cdot \sin x}} \]

   if -2.4999999999999999e-8 < x < 5.0000000000000004e-16

   1. Initial program 55.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.7%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   if 5.0000000000000004e-16 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. times-frac 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot \sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{-\sin x}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin \left(-x\right)}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. associate-/r* 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      2. inv-pow 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. *-un-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. times-frac 99.1%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot {\left(0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \]

      2. unpow-1 99.1%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      4. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

      5. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. div-inv 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      9. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      10. div-inv 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      11. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot \color{blue}{0.375}} \]

      12. *-commutative 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{0.375 \cdot \sin x}} \]

   7. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{0.375 \cdot \sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{-24}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1e-7) (not (<= x 5e-24)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)))
   (/ x 1.5)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-24)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-1d-7)) .or. (.not. (x <= 5d-24))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = x / 1.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-24)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -1e-7) or not (x <= 5e-24):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = x / 1.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-24))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(x / 1.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1e-7) || ~((x <= 5e-24)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((sin((x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = x / 1.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1e-7], N[Not[LessEqual[x, 5e-24]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x / 1.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -9.9999999999999995e-8 or 4.9999999999999998e-24 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      3. associate-*l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \cdot 2.6666666666666665} \]

      5. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \cdot 2.6666666666666665 \]

      6. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -9.9999999999999995e-8 < x < 4.9999999999999998e-24

   1. Initial program 54.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.2%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 16.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 14.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.3%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.3%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.3%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.3%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 48.8%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 48.8%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 48.8%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{-24}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{-16}\right):\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1e-7) (not (<= x 5e-16)))
   (* (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (/ 2.6666666666666665 (sin x)))
   (/ x 1.5)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-16)) {
		tmp = pow(sin((x * 0.5)), 2.0) * (2.6666666666666665 / sin(x));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-1d-7)) .or. (.not. (x <= 5d-16))) then
        tmp = (sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    else
        tmp = x / 1.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-16)) {
		tmp = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -1e-7) or not (x <= 5e-16):
		tmp = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	else:
		tmp = x / 1.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1e-7) || !(x <= 5e-16))
		tmp = Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(x / 1.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1e-7) || ~((x <= 5e-16)))
		tmp = (sin((x * 0.5)) ^ 2.0) * (2.6666666666666665 / sin(x));
	else
		tmp = x / 1.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1e-7], N[Not[LessEqual[x, 5e-16]], $MachinePrecision]], N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x / 1.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -9.9999999999999995e-8 or 5.0000000000000004e-16 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      4. clear-num 99.1%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. un-div-inv 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. *-un-lft-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. times-frac 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

      3. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      4. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -9.9999999999999995e-8 < x < 5.0000000000000004e-16

   1. Initial program 55.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.7%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{-16}\right):\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin (* x 0.5)) 2.0)))
   (if (<= x -1e-7)
     (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) t_0))
     (if (<= x 5e-16) (/ x 1.5) (* t_0 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0
    if (x <= (-1d-7)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / t_0)
    else if (x <= 5d-16) then
        tmp = x / 1.5d0
    else
        tmp = t_0 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -1e-7:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / t_0)
	elif x <= 5e-16:
		tmp = x / 1.5
	else:
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e-7)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / t_0));
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = Float64(x / 1.5);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5)) ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e-7)
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = x / 1.5;
	else
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1e-7], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-16], N[(x / 1.5), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -9.9999999999999995e-8

   1. Initial program 99.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.1%

         \[\leadsto \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. div-inv 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      4. associate-/l/ 99.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. pow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   if -9.9999999999999995e-8 < x < 5.0000000000000004e-16

   1. Initial program 55.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.7%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   if 5.0000000000000004e-16 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      4. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. un-div-inv 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. *-un-lft-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. times-frac 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

      3. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      4. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot t_0}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin (* x 0.5)) 2.0)))
   (if (<= x -1e-7)
     (/ (* 2.6666666666666665 t_0) (sin x))
     (if (<= x 5e-16) (/ x 1.5) (* t_0 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / sin(x);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0
    if (x <= (-1d-7)) then
        tmp = (2.6666666666666665d0 * t_0) / sin(x)
    else if (x <= 5d-16) then
        tmp = x / 1.5d0
    else
        tmp = t_0 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / Math.sin(x);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -1e-7:
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / math.sin(x)
	elif x <= 5e-16:
		tmp = x / 1.5
	else:
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e-7)
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 * t_0) / sin(x));
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = Float64(x / 1.5);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5)) ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e-7)
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / sin(x);
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = x / 1.5;
	else
		tmp = t_0 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1e-7], N[(N[(2.6666666666666665 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-16], N[(x / 1.5), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -9.9999999999999995e-8

   1. Initial program 99.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -9.9999999999999995e-8 < x < 5.0000000000000004e-16

   1. Initial program 55.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.7%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   if 5.0000000000000004e-16 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      4. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. un-div-inv 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. *-un-lft-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. times-frac 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

      3. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      4. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot t_0}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin (* x 0.5)) 2.0)))
   (if (<= x -1e-7)
     (/ (* 2.6666666666666665 t_0) (sin x))
     (if (<= x 5e-16) (/ x 1.5) (/ t_0 (* 0.375 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / sin(x);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 / (0.375 * sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0
    if (x <= (-1d-7)) then
        tmp = (2.6666666666666665d0 * t_0) / sin(x)
    else if (x <= 5d-16) then
        tmp = x / 1.5d0
    else
        tmp = t_0 / (0.375d0 * sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -1e-7) {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / Math.sin(x);
	} else if (x <= 5e-16) {
		tmp = x / 1.5;
	} else {
		tmp = t_0 / (0.375 * Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -1e-7:
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / math.sin(x)
	elif x <= 5e-16:
		tmp = x / 1.5
	else:
		tmp = t_0 / (0.375 * math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e-7)
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 * t_0) / sin(x));
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = Float64(x / 1.5);
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.375 * sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5)) ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e-7)
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / sin(x);
	elseif (x <= 5e-16)
		tmp = x / 1.5;
	else
		tmp = t_0 / (0.375 * sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1e-7], N[(N[(2.6666666666666665 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-16], N[(x / 1.5), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -9.9999999999999995e-8

   1. Initial program 99.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -9.9999999999999995e-8 < x < 5.0000000000000004e-16

   1. Initial program 55.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 33.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 33.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.3%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.7%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.2%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.6%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   if 5.0000000000000004e-16 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. times-frac 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot \sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{-\sin x}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin \left(-x\right)}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. associate-/r* 99.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      2. inv-pow 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. *-un-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. times-frac 99.1%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto {\left(\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot {\left(0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \]

      2. unpow-1 99.1%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      4. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

      5. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. div-inv 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      9. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      10. div-inv 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      11. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot \color{blue}{0.375}} \]

      12. *-commutative 99.3%

          \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{0.375 \cdot \sin x}} \]

   7. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ t_0 (* 0.375 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 / (0.375d0 * (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 / (0.375 * (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 / (0.375 * (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(0.375 * Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(0.375 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. associate-*l/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. clear-num 99.2%

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. un-div-inv 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. *-un-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. times-frac 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

Alternative 8: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 78.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   12. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   13. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   14. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\sin x}\right) \]

   15. associate-/l* 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{-1}}}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 9: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 / (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   17. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 10: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\sin x} \cdot \left(t_0 \cdot 2.6666666666666665\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (* (/ t_0 (sin x)) (* t_0 2.6666666666666665))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (t_0 / Math.sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (t_0 / math.sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(t_0 / sin(x)) * Float64(t_0 * 2.6666666666666665))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (t_0 / sin(x)) * (t_0 * 2.6666666666666665);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * 2.6666666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665\right) \]

Alternative 11: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ t_0 \cdot \frac{\frac{t_0}{\sin x}}{0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (* t_0 (/ (/ t_0 (sin x)) 0.375))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 * ((t_0 / sin(x)) / 0.375);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 * ((t_0 / sin(x)) / 0.375d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 * ((t_0 / Math.sin(x)) / 0.375);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 * ((t_0 / math.sin(x)) / 0.375)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 * Float64(Float64(t_0 / sin(x)) / 0.375))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 * ((t_0 / sin(x)) / 0.375);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. times-frac 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot \sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{-\sin x}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin \left(-x\right)}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. associate-/r* 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   2. inv-pow 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. *-un-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. times-frac 99.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   5. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}\right)}^{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   2. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   3. associate-/r* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}{0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

   4. clear-num 99.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}}{0.375} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{0.375}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

8. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}{0.375} \]

Alternative 12: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000115 \lor \neg \left(x \leq 0.000175\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.000115) (not (<= x 0.000175)))
   (* (/ 2.6666666666666665 (sin x)) (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)))
   (/ x 1.5)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000115) || !(x <= 0.000175)) {
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.000115d0)) .or. (.not. (x <= 0.000175d0))) then
        tmp = (2.6666666666666665d0 / sin(x)) * (0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0))
    else
        tmp = x / 1.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000115) || !(x <= 0.000175)) {
		tmp = (2.6666666666666665 / Math.sin(x)) * (0.5 - (Math.cos(x) / 2.0));
	} else {
		tmp = x / 1.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.000115) or not (x <= 0.000175):
		tmp = (2.6666666666666665 / math.sin(x)) * (0.5 - (math.cos(x) / 2.0))
	else:
		tmp = x / 1.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.000115) || !(x <= 0.000175))
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 / sin(x)) * Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)));
	else
		tmp = Float64(x / 1.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.000115) || ~((x <= 0.000175)))
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	else
		tmp = x / 1.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.000115], N[Not[LessEqual[x, 0.000175]], $MachinePrecision]], N[(N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x / 1.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.15e-4 or 1.74999999999999998e-4 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*l/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      4. clear-num 99.1%

         \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. un-div-inv 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      6. *-un-lft-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. times-frac 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      8. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665 \]

      3. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      4. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

      2. sin-mult 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   10. Applied egg-rr 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       2. +-inverses 98.7%

          \[\leadsto \left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       3. cos-0 98.7%

          \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       4. metadata-eval 98.7%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       5. distribute-lft-out 98.7%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       6. metadata-eval 98.7%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       7. *-rgt-identity 98.7%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   12. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   if -1.15e-4 < x < 1.74999999999999998e-4

   1. Initial program 55.5%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

   6. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 34.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

      2. pow3 34.2%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

   8. Applied egg-rr 34.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 17.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. pow-to-exp 15.8%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-exp 49.0%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

      4. *-commutative 49.0%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   10. Applied egg-rr 49.0%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 49.0%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

       2. associate-*r* 49.5%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       3. metadata-eval 49.5%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

       4. *-un-lft-identity 49.5%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

       5. add-exp-log 99.4%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

       6. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

       7. div-inv 99.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

   12. Applied egg-rr 99.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000115 \lor \neg \left(x \leq 0.000175\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{1.5}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 54.9% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. *-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. times-frac 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{-1 \cdot \sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{-\sin x}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin \left(-x\right)}}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. associate-/r* 99.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin \left(-x\right)}{-1}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

5. Final simplification 53.2%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]

Alternative 14: 55.1% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x 0.5)) 0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) / 0.75d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) / 0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / 0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) / 0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. associate-*l/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

   3. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   4. clear-num 99.2%

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. un-div-inv 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. *-un-lft-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \sin x}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. times-frac 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 53.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75}} \]

7. Final simplification 53.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \]

Alternative 15: 51.3% accurate, 28.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (+ (* x -0.125) (* 1.5 (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / ((x * (-0.125d0)) + (1.5d0 * (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.125) + Float64(1.5 * Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((x * -0.125) + (1.5 * (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(x * -0.125), $MachinePrecision] + N[(1.5 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.3%

      \[\leadsto \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. div-inv 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. clear-num 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   4. *-un-lft-identity 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. times-frac 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   6. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{0.375} \cdot \frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. associate-/l/ 78.6%

      \[\leadsto \frac{1}{0.375 \cdot \color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   8. pow2 78.6%

      \[\leadsto \frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

5. Applied egg-rr 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 48.6%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.125 \cdot x + 1.5 \cdot \frac{1}{x}}} \]

7. Final simplification 48.6%

   \[\leadsto \frac{1}{x \cdot -0.125 + 1.5 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 16: 50.8% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

6. Simplified 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

7. Final simplification 48.2%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Alternative 17: 51.0% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1.5} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x 1.5))

C

double code(double x) {
	return x / 1.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / 1.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / 1.5;
}

Python

def code(x):
	return x / 1.5

Julia

function code(x)
	return Float64(x / 1.5)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / 1.5;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / 1.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.8%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

6. Simplified 48.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 17.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

   2. pow3 17.6%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]

8. Applied egg-rr 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 9.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   2. pow-to-exp 8.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(e^{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. pow-exp 23.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot 3\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

   4. *-commutative 23.6%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

10. Applied egg-rr 23.6%

    \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 23.6%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}} \]

    2. associate-*r* 23.9%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 3\right) \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

    3. metadata-eval 23.9%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{1} \cdot \log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

    4. *-un-lft-identity 23.9%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

    5. add-exp-log 48.2%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

    6. metadata-eval 48.2%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{1}{1.5}} \]

    7. div-inv 48.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

12. Applied egg-rr 48.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1.5}} \]

13. Final simplification 48.4%

    \[\leadsto \frac{x}{1.5} \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023308 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))