bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.9% → 97.9%

Time: 17.6s

Alternatives: 6

Speedup: 2.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = 2.1519952331696175e+37

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000005)
     (+
      (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
      (* x (sqrt (* (pow x 2.0) 0.027777777777777776))))
     (log t_0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * sqrt((pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.000005d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * sqrt(((x ** 2.0d0) * 0.027777777777777776d0)))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * Math.sqrt((Math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.000005:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * math.sqrt((math.pow(x, 2.0) * 0.027777777777777776)))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * sqrt(Float64((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776))));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * sqrt(((x ^ 2.0) * 0.027777777777777776)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000005], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[Sqrt[N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000500000000003

   1. Initial program 56.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   4. Applied egg-rr 78.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. sqrt-prod 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}} \]

      3. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}} \]

      4. sqrt-pow1 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}} \]

      6. unpow2 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

      7. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 50.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot x}\right)} \cdot x \]

      2. sqrt-unprod 77.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}} \cdot x \]

      3. swap-sqr 77.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x \]

      4. metadata-eval 77.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot x \]

      5. pow2 77.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{x}^{2}}} \cdot x \]

   8. Applied egg-rr 77.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}} \cdot x \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 77.0%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x \]

   10. Simplified 77.0%

       \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x \]

   if 1.00000500000000003 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 57.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \sqrt{{x}^{2} \cdot 0.027777777777777776}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000005)
     (fma (* x 0.16666666666666666) x (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))
     (log t_0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = fma((x * 0.16666666666666666), x, (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = fma(Float64(x * 0.16666666666666666), x, Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000005], N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000500000000003

   1. Initial program 56.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   4. Applied egg-rr 78.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. sqrt-prod 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}} \]

      3. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}} \]

      4. sqrt-pow1 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}} \]

      6. unpow2 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

      7. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      2. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   8. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.00000500000000003 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 57.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x \cdot 0.16666666666666666, x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 97.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000005)
     (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666)))
     (log t_0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.000005d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.000005:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000005], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000500000000003

   1. Initial program 56.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

      3. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      4. *-commutative 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      5. swap-sqr 78.6%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

      6. pow-prod-up 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      7. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

      8. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   4. Applied egg-rr 78.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

      2. sqrt-prod 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}} \]

      3. metadata-eval 78.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}} \]

      4. sqrt-pow1 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

      5. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}} \]

      6. unpow2 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

      7. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   if 1.00000500000000003 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 57.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 96.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} \]

   2. sqrt-unprod 75.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} \]

   3. *-commutative 75.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   4. *-commutative 75.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   5. swap-sqr 75.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   6. pow-prod-up 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   7. metadata-eval 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   8. metadata-eval 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

4. Applied egg-rr 75.1%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{4}}} \]

   2. sqrt-prod 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{4}}} \]

   3. metadata-eval 75.1%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{4}} \]

   4. sqrt-pow1 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \]

   5. metadata-eval 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{2}} \]

   6. unpow2 94.9%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   7. associate-*r* 95.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 5: 96.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 (* (pow x 2.0) 0.16666666666666666))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x ** 2.0d0) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return Math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return math.pow(x, 2.0) * 0.16666666666666666

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64((x ^ 2.0) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (x ^ 2.0) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto {x}^{2} \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 6: 50.7% accurate, 203.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ 0 \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return 0.0

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 52.5%

   \[\leadsto \log \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 52.5%

   \[\leadsto 0 \]

Developer target: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023306 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))