Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 8.9% → 98.7%

Time: 7.9s

Alternatives: 8

Speedup: 133.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 8.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 98.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.8:\\ \;\;\;\;\frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.8)
   (/
    (+
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
     (+
      (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
      (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))))
    (+
     2.0
     (+
      (* 0.002777777777777778 (pow x 6.0))
      (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (pow x 2.0)))))
   1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.8) {
		tmp = ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.8d0) then
        tmp = ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0)))) / (2.0d0 + ((0.002777777777777778d0 * (x ** 6.0d0)) + ((0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0)) + (x ** 2.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.8) {
		tmp = ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * Math.pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0)) + Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.8:
		tmp = ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * math.pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0)) + math.pow(x, 2.0))))
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.8)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.8)
		tmp = ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0)))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) + ((0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.8], N[(N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.7999999999999998

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 8.2%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)} \]

   if 2.7999999999999998 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.8:\\ \;\;\;\;\frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 2: 98.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.4:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.4)
   (/
    (+
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
     (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)))
    (+
     2.0
     (+
      (* 0.002777777777777778 (pow x 6.0))
      (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (pow x 2.0)))))
   1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.4) {
		tmp = ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.4d0) then
        tmp = ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0))) / (2.0d0 + ((0.002777777777777778d0 * (x ** 6.0d0)) + ((0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0)) + (x ** 2.0d0))))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.4) {
		tmp = ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * Math.pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0)) + Math.pow(x, 2.0))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.4:
		tmp = ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * math.pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0)) + math.pow(x, 2.0))))
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.4)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0)))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.4)
		tmp = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) + ((0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.4], N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 8.2%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)} \]

   if 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.4:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 3: 98.6% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3:\\ \;\;\;\;\frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 3.0)
   (/
    (+
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
     (+
      (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
      (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))))
    (+ (exp x) (exp (- x))))
   1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.0) {
		tmp = ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (exp(x) + exp(-x));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 3.0d0) then
        tmp = ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0)))) / (exp(x) + exp(-x))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.0) {
		tmp = ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 3.0:
		tmp = ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.0)
		tmp = ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0)))) / (exp(x) + exp(-x));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 3.0], N[(N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   if 3 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3:\\ \;\;\;\;\frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.25)
   (+
    x
    (+
     (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333)
     (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))
   1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.25) {
		tmp = x + ((pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.25d0) then
        tmp = x + (((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0) + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.25) {
		tmp = x + ((Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.25:
		tmp = x + ((math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333) + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333))
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.25)
		tmp = Float64(x + Float64(Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333) + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333)));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.25)
		tmp = x + (((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333) + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.25], N[(x + N[(N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.25

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

   if 1.25 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;x + \left({x}^{5} \cdot 0.13333333333333333 + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 5: 98.2% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.15:\\ \;\;\;\;x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.15) (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)) 1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.15) {
		tmp = x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.15d0) then
        tmp = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.15) {
		tmp = x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.15:
		tmp = x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.15)
		tmp = Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.15)
		tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.15], N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.1499999999999999

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x + -0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

   4. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333} \]

   if 1.1499999999999999 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.15:\\ \;\;\;\;x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 6: 7.6% accurate, 133.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x -5e-310) -1.0 1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = -1.0d0
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = -1.0
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5e-310)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], -1.0, 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 7.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 7.9%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 7.9%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 7.9%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 7.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 9.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 8.4%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 8.4%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 8.4%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 8.4%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 8.4%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 8.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 7: 97.9% accurate, 133.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 1.0) x 1.0))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.0) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.0d0) then
        tmp = x
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.0) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.0:
		tmp = x
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.0)
		tmp = x;
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.0)
		tmp = x;
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.0], x, 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1

   1. Initial program 8.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 1 < x

   1. Initial program 20.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

      2. unpow2 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

      3. fma-def 5.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]

Alternative 8: 4.9% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.2%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 8.2%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

   2. unpow2 8.2%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   3. fma-def 8.2%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} \]

6. Applied egg-rr 4.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

7. Final simplification 4.7%

   \[\leadsto -1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023306 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))