Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.1% → 97.2%

Time: 7.1s

Alternatives: 8

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0))
  (+ (fma x x 2.0) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / (fma(x, x, 2.0) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / Float64(fma(x, x, 2.0) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 95.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right) + 2}} \]

   2. associate-+l+ 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \left({x}^{2} + 2\right)}} \]

   3. +-commutative 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}} \]

   4. fma-def 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, 2 + {x}^{2}\right)}} \]

   5. +-commutative 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} + 2}\right)} \]

   6. unpow2 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot x} + 2\right)} \]

   7. fma-def 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}\right)} \]

5. Simplified 95.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

   2. +-commutative 95.0%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}}} \]

7. Applied egg-rr 95.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}}} \]

8. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right) + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]

Alternative 2: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0)) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 95.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

6. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 3: 97.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ x (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (* (pow x 5.0) 0.125))))

C

double code(double x) {
	return x + ((pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + ((x ** 5.0d0) * 0.125d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (Math.pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Python

def code(x):
	return x + ((math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (math.pow(x, 5.0) * 0.125))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64((x ^ 5.0) * 0.125)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + ((x ^ 5.0) * 0.125));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.125 \cdot {x}^{5}\right)} \]

4. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \]

Alternative 4: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  x
  (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (* 0.13333333333333333 (pow x 5.0)))))

C

double code(double x) {
	return x + ((pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * pow(x, 5.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (0.13333333333333333d0 * (x ** 5.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * Math.pow(x, 5.0)));
}

Python

def code(x):
	return x + ((math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * math.pow(x, 5.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(0.13333333333333333 * (x ^ 5.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (0.13333333333333333 * (x ^ 5.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.13333333333333333 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

3. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto x + \left({x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

Alternative 5: 96.7% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) (fma x x 2.0)))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / fma(x, x, 2.0);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / fma(x, x, 2.0))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / N[(x * x + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

   2. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

   3. fma-def 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 94.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

6. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

Alternative 6: 5.8% accurate, 133.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.3 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.75\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 1.3e-308) -0.3333333333333333 0.75))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.3e-308) {
		tmp = -0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.3d-308) then
        tmp = -0.3333333333333333d0
    else
        tmp = 0.75d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.3e-308) {
		tmp = -0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = 0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.3e-308:
		tmp = -0.3333333333333333
	else:
		tmp = 0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.3e-308)
		tmp = -0.3333333333333333;
	else
		tmp = 0.75;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.3e-308)
		tmp = -0.3333333333333333;
	else
		tmp = 0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.3e-308], -0.3333333333333333, 0.75]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.3e-308

   1. Initial program 8.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

   4. Applied egg-rr 5.6%

      \[\leadsto x + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around 0 5.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]

   if 1.3e-308 < x

   1. Initial program 9.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 7.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 7.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{{x}^{2} + 2}} \]

      2. unpow2 7.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{x \cdot x} + 2} \]

      3. fma-def 7.1%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

   4. Simplified 7.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 5.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.5}}{\mathsf{fma}\left(x, x, 2\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 6.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.75} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 6.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.3 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.75\\ \end{array} \]

Alternative 7: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -0.3333333333333333)

C

double code(double x) {
	return -0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -0.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return -0.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return -0.3333333333333333
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := -0.3333333333333333

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right)} \]

4. Applied egg-rr 4.5%

   \[\leadsto x + \left(\color{blue}{-0.3333333333333333} + 0.13333333333333333 \cdot {x}^{5}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]

6. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto -0.3333333333333333 \]

Alternative 8: 96.6% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 8.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023305 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))