bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.9% → 97.0%

Time: 17.4s

Alternatives: 5

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -229577141695145540.0

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
  (+ (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0)) (* (* x x) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + ((x * x) * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 98.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   2. add-exp-log 94.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}\right) \]

4. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 98.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

   2. *-commutative 98.0%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

6. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

7. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 2: 96.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma -0.005555555555555556 (pow x 4.0) (* (* x x) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return fma(-0.005555555555555556, pow(x, 4.0), ((x * x) * 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return fma(-0.005555555555555556, (x ^ 4.0), Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
end

Wolfram

code[x_] := N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. unpow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

4. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

5. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 3: 96.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. unpow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   3. associate-*r* 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

5. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   2. associate-*l* 97.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   3. *-commutative 97.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   4. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   5. associate-*l* 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

7. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

8. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 4: 96.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 3.0 (log1p (* (* x x) 0.05555555555555555))))

C

double code(double x) {
	return 3.0 * log1p(((x * x) * 0.05555555555555555));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 3.0 * Math.log1p(((x * x) * 0.05555555555555555));
}

Python

def code(x):
	return 3.0 * math.log1p(((x * x) * 0.05555555555555555))

Julia

function code(x)
	return Float64(3.0 * log1p(Float64(Float64(x * x) * 0.05555555555555555)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(3.0 * N[Log[1 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1} \]

   3. log1p-udef 53.6%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}} - 1 \]

   4. add-exp-log 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)} - 1 \]

3. Applied egg-rr 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\left(1 + \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) - 1\right)}} \]

   2. associate--l+ 53.6%

      \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(1 + \left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) - 1\right)\right)}} \]

   3. log1p-def 53.6%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) - 1\right)}} \]

   4. add-exp-log 53.6%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\log \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}} - 1\right)} \]

   5. expm1-def 53.6%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\log \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}\right)} \]

   6. log1p-expm1-u 53.6%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}} \]

   7. add-exp-log 53.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)} \]

   8. add-cube-cbrt 53.5%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   9. log-prod 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   10. pow2 53.5%

       \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) \]

5. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left({\left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-pow 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) \]

   2. distribute-lft1-in 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   3. metadata-eval 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right) \]

7. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 52.4%

   \[\leadsto 3 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 0.05555555555555555 \cdot {x}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 52.4%

      \[\leadsto 3 \cdot \log \left(1 + 0.05555555555555555 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

10. Simplified 52.4%

    \[\leadsto 3 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 0.05555555555555555 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. log1p-def 97.3%

       \[\leadsto 3 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.05555555555555555 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

    2. *-commutative 97.3%

       \[\leadsto 3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555}\right) \]

12. Applied egg-rr 97.3%

    \[\leadsto 3 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555\right)} \]

13. Final simplification 97.3%

    \[\leadsto 3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.05555555555555555\right) \]

Alternative 5: 96.5% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Developer target: 97.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))