UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 22.2s

Alternatives: 7

Speedup: 0.9×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (cbrt (* (pow (* PI 2.0) 3.0) (pow uy 3.0))))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* (* ux maxCos) (* ux (+ ux -1.0)))))))
   xi)
  (+ (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))) (* yi (sin (* 2.0 (* PI uy)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf(cbrtf((powf((((float) M_PI) * 2.0f), 3.0f) * powf(uy, 3.0f)))), (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * ((ux * maxCos) * (ux * (ux + -1.0f))))))) * xi), ((maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))) + (yi * sinf((2.0f * (((float) M_PI) * uy))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(cbrt(Float32((Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0))))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * uy))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   2. add-cbrt-cube 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}} \cdot uy\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. add-cbrt-cube 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy}}\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   4. cbrt-unprod 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   5. pow3 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3}} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)}}^{3} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   7. pow3 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{uy}^{3}}}\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := \left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot t_0\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_1 (* (* PI 2.0) uy))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* (* ux (* ux t_0)) (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* t_0 (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = (((float) M_PI) * 2.0f) * uy;
	float t_2 = sqrtf((1.0f + ((ux * (ux * t_0)) * (maxCos * (ux + -1.0f)))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (t_0 * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) * uy)
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(ux * t_0)) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(t_0 * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(\left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* (* PI 2.0) uy))
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* maxCos (* ux ux))) (+ ux -1.0)))))
  (+ (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))) (* yi (sin (* 2.0 (* PI uy)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf(((((float) M_PI) * 2.0f) * uy)), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (maxCos * (ux * ux))) * (ux + -1.0f))))), ((maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))) + (yi * sinf((2.0f * (((float) M_PI) * uy))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) * uy)), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * uy))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right) \]

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* PI (* 2.0 uy))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))) (* yi (sin t_1)))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = single(pi) * (single(2.0) * uy);
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(-maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ zi \cdot t_1 + \left(yi \cdot \sin t_0 + xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 + t_1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* 2.0 uy))) (t_1 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* zi t_1)
    (+
     (* yi (sin t_0))
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* ux maxCos)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	float t_1 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (zi * t_1) + ((yi * sinf(t_0)) + (xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + (t_1 * (ux * (ux * maxCos))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(zi * t_1) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(ux * maxCos)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (single(2.0) * uy);
	t_1 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (zi * t_1) + ((yi * sin(t_0)) + (xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) + (t_1 * (ux * (ux * maxCos))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around inf 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. mul-1-neg 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(-maxCos\right)} \cdot ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(-maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(-maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(-maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]

Alternative 6: 90.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi)))) * sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

5. Taylor expanded in ux around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   2. expm1-udef 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} - 1\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt -0.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-maxCos} \cdot \sqrt{-maxCos}\right)}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-unprod 91.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-maxCos\right) \cdot \left(-maxCos\right)}}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqr-neg 91.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \sqrt{\color{blue}{maxCos \cdot maxCos}}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-unprod 91.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{maxCos} \cdot \sqrt{maxCos}\right)}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 91.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 91.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} - 1\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 91.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

    2. expm1-log1p 91.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 91.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 91.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

Alternative 7: 90.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

5. Taylor expanded in ux around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))