ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 54.4% → 99.6%

Time: 21.2s

Alternatives: 7

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + ((((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))) + ((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))) + Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

3. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, -0.06388888888888888 \cdot x, 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
  (* x (* x (fma x (* -0.06388888888888888 x) 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (x * (x * fma(x, (-0.06388888888888888 * x), 0.16666666666666666)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(x * Float64(x * fma(x, Float64(-0.06388888888888888 * x), 0.16666666666666666))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * N[(-0.06388888888888888 * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + \left(-2.7557319223985893 \cdot 10^{-6} \cdot {x}^{9} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{7} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   3. unpow2 99.6%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

   4. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   5. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

   6. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right)\right) \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right) \]

   2. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \left({x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   2. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

   3. associate-+r+ 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275} \]

   4. +-commutative 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left({x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left({x}^{\color{blue}{\left(3 + 1\right)}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   6. pow-plus 99.6%

      \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot x\right)} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   7. unpow3 99.6%

      \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   8. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   9. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   10. associate-*r* 99.6%

       \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

   11. *-commutative 99.6%

       \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

   12. distribute-lft-in 99.6%

       \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

   13. associate-*l* 99.6%

       \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   14. fma-def 99.6%

       \[\leadsto {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275 + x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

10. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, -0.06388888888888888 \cdot x, 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.06388888888888888}{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* x x)
  (/
   (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) 0.06388888888888888))
   (- 0.027777777777777776 (* (pow x 4.0) 0.00408179012345679)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) / ((0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.06388888888888888)) / (0.027777777777777776 - (pow(x, 4.0) * 0.00408179012345679)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) / ((0.16666666666666666d0 + ((x * x) * 0.06388888888888888d0)) / (0.027777777777777776d0 - ((x ** 4.0d0) * 0.00408179012345679d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) / ((0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.06388888888888888)) / (0.027777777777777776 - (Math.pow(x, 4.0) * 0.00408179012345679)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) / ((0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.06388888888888888)) / (0.027777777777777776 - (math.pow(x, 4.0) * 0.00408179012345679)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) / Float64(Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.06388888888888888)) / Float64(0.027777777777777776 - Float64((x ^ 4.0) * 0.00408179012345679))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) / ((0.16666666666666666 + ((x * x) * 0.06388888888888888)) / (0.027777777777777776 - ((x ^ 4.0) * 0.00408179012345679)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.027777777777777776 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.00408179012345679), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   2. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   5. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}\right) \]

5. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   3. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   5. pow-pow 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{2}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. pow2 99.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{2} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   7. pow2 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   8. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   9. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   10. distribute-lft-out 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \]

   11. associate-*l* 99.4%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} + 0.16666666666666666\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)} \]

   2. flip-+ 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)}} \]

   3. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)}} \]

   4. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   5. pow2 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}^{2}}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   6. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)}}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   7. unpow-prod-down 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{2} \cdot {-0.06388888888888888}^{2}}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   8. pow-prod-down 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {-0.06388888888888888}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   9. pow-prod-up 99.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot {-0.06388888888888888}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   10. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot {-0.06388888888888888}^{2}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   11. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.00408179012345679}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   12. sub-neg 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(-x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)}} \]

   13. associate-*r* 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \left(-\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888}\right)} \]

   14. distribute-rgt-neg-in 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(--0.06388888888888888\right)}} \]

   15. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.06388888888888888}} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679\right)}{0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.06388888888888888}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* 99.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.06388888888888888}{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}}} \]

    2. *-commutative 99.5%

       \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \color{blue}{0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}} \]

11. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + 0.06388888888888888 \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}}} \]

12. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.06388888888888888}{0.027777777777777776 - {x}^{4} \cdot 0.00408179012345679}} \]

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, -0.06388888888888888 \cdot x, 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (fma x (* -0.06388888888888888 x) 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * fma(x, (-0.06388888888888888 * x), 0.16666666666666666));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * fma(x, Float64(-0.06388888888888888 * x), 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(x * N[(-0.06388888888888888 * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   2. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   5. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}\right) \]

5. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

   2. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} \]

   3. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 \]

   4. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 \]

   5. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   6. pow-pow 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{2}} \cdot -0.06388888888888888 \]

   7. pow2 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{2} \cdot -0.06388888888888888 \]

   8. pow2 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot -0.06388888888888888 \]

   9. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   10. distribute-lft-out 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)} \]

   11. associate-*l* 99.4%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)}\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot -0.06388888888888888, 0.16666666666666666\right)\right)} \]

10. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, -0.06388888888888888 \cdot x, 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 5: 99.4% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x (* -0.06388888888888888 x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (-0.06388888888888888 * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * ((-0.06388888888888888d0) * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (-0.06388888888888888 * x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (-0.06388888888888888 * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(-0.06388888888888888 * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (-0.06388888888888888 * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(-0.06388888888888888 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

3. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

   2. unpow2 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   4. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x}\right) \]

   5. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}\right) \]

5. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   3. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   4. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   5. pow-pow 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({x}^{2}\right)}^{2}} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. pow2 99.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(x \cdot x\right)}}^{2} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   7. pow2 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   8. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   9. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888\right) + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   10. distribute-lft-out 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666\right)} \]

   11. associate-*l* 99.4%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right)} + 0.16666666666666666\right) \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.06388888888888888\right) + 0.16666666666666666\right)} \]

8. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(-0.06388888888888888 \cdot x\right)\right) \]

Alternative 6: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 7: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.5%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))