Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.3% → 99.7%

Time: 8.6s

Alternatives: 11

Speedup: 18.7×

• 49.7% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 0.001\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 0.001)))
     (/ t_0 2.0)
     (/
      (+
       (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
       (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 0.001)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 0.001)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 0.001):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 0.001))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 0.001)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.001]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0 or 1e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 1e-3

   1. Initial program 7.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      3. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.001\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -34000 \lor \neg \left(x \leq 13200\right):\\ \;\;\;\;\langle \left( 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -34000.0) (not (<= x 13200.0)))
   (cast (! :precision binary32 (* 0.008333333333333333 (pow x 5.0))))
   (/
    (+
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
     (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	float tmp_1;
	if ((x <= -34000.0) || !(x <= 13200.0)) {
		float tmp_2 = 0.008333333333333333f * powf(x, 5.0f);
		tmp_1 = (double) tmp_2;
	} else {
		tmp_1 = ((0.016666666666666666f * powf(x, 5.0f)) + (x * (2.0f + (0.3333333333333333f * (x * x))))) / 2.0f;
	}
	return tmp_1;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(4) :: tmp
    real(4) :: tmp_1
    real(4) :: tmp_2
    if ((x <= (-34000.0d0)) .or. (.not. (x <= 13200.0d0))) then
        tmp_2 = 0.008333333333333333e0 * (x ** 5.0e0)
        tmp_1 = real(tmp_2, 8)
    else
        tmp_1 = ((0.016666666666666666e0 * (x ** 5.0e0)) + (x * (2.0e0 + (0.3333333333333333e0 * (x * x))))) / 2.0e0
    end if
    code = tmp_1
end function

Julia

function code(x)
	tmp_1 = Float32(0.0)
	if ((x <= -34000.0) || !(x <= 13200.0))
		tmp_2 = Float32(Float32(0.008333333333333333) * (x ^ Float32(5.0)))
		tmp_1 = Float64(tmp_2);
	else
		tmp_1 = Float32(Float32(Float32(Float32(0.016666666666666666) * (x ^ Float32(5.0))) + Float32(x * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(0.3333333333333333) * Float32(x * x))))) / Float32(2.0));
	end
	return tmp_1
end

MATLAB

function tmp_4 = code(x)
	tmp_2 = single(0.0);
	if ((x <= -34000.0) || ~((x <= 13200.0)))
		tmp_3 = single(0.008333333333333333) * single((x ^ double(single(5.0))));
		tmp_2 = double(tmp_3);
	else
		tmp_2 = ((single(0.016666666666666666) * single((x ^ double(single(5.0))))) + single((x * double((single(2.0) + (single(0.3333333333333333) * single((x * x)))))))) / single(2.0);
	end
	tmp_4 = tmp_2;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -34000 or 13200 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 77.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 77.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. rewrite-binary64/binary32 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

   5. Applied rewrite-once 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \langle \left( \frac{\color{blue}{0.016666666666666666}}{\frac{2}{{x}^{5}}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \]

      2. associate-/r/ 99.3%

         \[\leadsto \langle \left( \color{blue}{\frac{0.016666666666666666}{2}} \cdot {x}^{5} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \langle \left( 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5}} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

   if -34000 < x < 13200

   1. Initial program 9.3%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      3. distribute-rgt-in 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. fma-udef 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

   4. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -34000 \lor \neg \left(x \leq 13200\right):\\ \;\;\;\;\langle \left( 0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 97.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -12600000000000 \lor \neg \left(x \leq 12500000000000\right):\\ \;\;\;\;\langle \left( \langle \left( x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -12600000000000.0) (not (<= x 12500000000000.0)))
   (cast
    (!
     :precision
     binary32
     (cast (! :precision binary64 (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
   (/
    (+
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
     (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp_3;
	if ((x <= -12600000000000.0) || !(x <= 12500000000000.0)) {
		double tmp_6 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
		double tmp_5 = (float) tmp_6;
		tmp_3 = (double) tmp_5;
	} else {
		tmp_3 = ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	}
	return tmp_3;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    real(8) :: tmp_1
    real(8) :: tmp_2
    real(8) :: tmp_3
    real(8) :: tmp_4
    real(8) :: tmp_5
    real(8) :: tmp_6
    if ((x <= (-12600000000000.0d0)) .or. (.not. (x <= 12500000000000.0d0))) then
        tmp_6 = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
        tmp_5 = real(tmp_6, 4)
        tmp_3 = real(tmp_5, 8)
    else
        tmp_3 = ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x))))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp_3
end function

Julia

function code(x)
	tmp_3 = 0.0
	if ((x <= -12600000000000.0) || !(x <= 12500000000000.0))
		tmp_6 = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
		tmp_5 = Float32(tmp_6)
		tmp_3 = Float64(tmp_5);
	else
		tmp_3 = Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0);
	end
	return tmp_3
end

MATLAB

function tmp_8 = code(x)
	tmp_4 = 0.0;
	if ((x <= -12600000000000.0) || ~((x <= 12500000000000.0)))
		tmp_7 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
		tmp_6 = single(tmp_7);
		tmp_4 = double(tmp_6);
	else
		tmp_4 = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	end
	tmp_8 = tmp_4;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.26e13 or 1.25e13 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 72.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 72.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 72.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 72.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 72.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 72.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x\right)}{2} \]

   7. Simplified 72.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 72.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. *-commutative 72.4%

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*r* 72.4%

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      4. associate-*l* 71.8%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      5. *-commutative 71.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x} \]

      6. *-commutative 71.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x \]

      7. associate-*l* 71.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x \]

      8. metadata-eval 71.8%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{0.5}\right)\right) \cdot x \]

      9. metadata-eval 71.8%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

      10. associate-*l* 71.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 71.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. rewrite-binary64/binary32-simplify 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \right)_{\text{binary64}}} \rangle_{\text{binary32}}} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

   11. Applied rewrite-once 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \right)_{\text{binary64}}} \rangle_{\text{binary32}}} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

   if -1.26e13 < x < 1.25e13

   1. Initial program 15.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 91.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      3. distribute-rgt-in 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. fma-udef 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

   4. Applied egg-rr 91.9%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 91.9%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 91.9%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -12600000000000 \lor \neg \left(x \leq 12500000000000\right):\\ \;\;\;\;\langle \left( \langle \left( x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 92.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))))
   (if (<= x 3.2e+34)
     (/
      (+
       (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
       (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
      2.0)
     (cbrt (* t_0 (* t_0 t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+34) {
		tmp = ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = cbrt((t_0 * (t_0 * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+34) {
		tmp = ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = Math.cbrt((t_0 * (t_0 * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+34)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0);
	else
		tmp = cbrt(Float64(t_0 * Float64(t_0 * t_0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+34], N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[Power[N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.1999999999999998e34

   1. Initial program 45.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

      3. distribute-rgt-in 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. fma-udef 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

   4. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 86.6%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   if 3.1999999999999998e34 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 75.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 75.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 75.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 75.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 75.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x\right)}{2} \]

   7. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*r* 75.7%

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      4. associate-*l* 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      5. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x} \]

      6. *-commutative 75.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x \]

      7. associate-*l* 75.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x \]

      8. metadata-eval 75.7%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{0.5}\right)\right) \cdot x \]

      9. metadata-eval 75.7%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

      10. associate-*l* 75.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cbrt-cube_binary64 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right)}} \]

   11. Applied rewrite-once 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 90.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
   (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
  2.0))

C

double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x))))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 87.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

   2. associate-*r* 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

   3. distribute-rgt-in 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. fma-udef 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

4. Applied egg-rr 87.4%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

6. Applied egg-rr 87.4%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

7. Final simplification 87.4%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 6: 89.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)) (* x 2.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + (x * 2.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + (x * 2.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(x * 2.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + (x * 2.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 87.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

   2. associate-*r* 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x\right)}{2} \]

   3. distribute-rgt-in 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. fma-udef 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

4. Applied egg-rr 87.4%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 87.2%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

6. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + x \cdot 2}{2} \]

Alternative 7: 90.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -5.0) (not (<= x 5.0)))
   (* (pow x 5.0) 0.008333333333333333)
   (/ (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-5.0d0)) .or. (.not. (x <= 5.0d0))) then
        tmp = (x ** 5.0d0) * 0.008333333333333333d0
    else
        tmp = (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = Math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -5.0) or not (x <= 5.0):
		tmp = math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0))
		tmp = Float64((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5.0) || ~((x <= 5.0)))
		tmp = (x ^ 5.0) * 0.008333333333333333;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -5.0], N[Not[LessEqual[x, 5.0]], $MachinePrecision]], N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5 or 5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 76.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 76.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   6. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   if -5 < x < 5

   1. Initial program 7.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 83.3% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.4) (not (<= x 2.4)))
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   x))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.4d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.4) or not (x <= 2.4):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.4) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.4], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.39999999999999991 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 67.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 67.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 67.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 67.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 67.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 67.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. *-commutative 67.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x\right)}{2} \]

   7. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 67.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. *-commutative 67.0%

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*r* 67.0%

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      4. associate-*l* 66.4%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      5. *-commutative 66.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x} \]

      6. *-commutative 66.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x \]

      7. associate-*l* 66.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x \]

      8. metadata-eval 66.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{0.5}\right)\right) \cdot x \]

      9. metadata-eval 66.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

      10. associate-*l* 66.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

   if -2.39999999999999991 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 7.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 9: 83.3% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{-1}{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.4:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2.4)
   (* -0.16666666666666666 (/ (* x x) (/ -1.0 x)))
   (if (<= x 2.4) x (* x (* x (* x 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.4) {
		tmp = -0.16666666666666666 * ((x * x) / (-1.0 / x));
	} else if (x <= 2.4) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2.4d0)) then
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * ((x * x) / ((-1.0d0) / x))
    else if (x <= 2.4d0) then
        tmp = x
    else
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.4) {
		tmp = -0.16666666666666666 * ((x * x) / (-1.0 / x));
	} else if (x <= 2.4) {
		tmp = x;
	} else {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2.4:
		tmp = -0.16666666666666666 * ((x * x) / (-1.0 / x))
	elif x <= 2.4:
		tmp = x
	else:
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.4)
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(Float64(x * x) / Float64(-1.0 / x)));
	elseif (x <= 2.4)
		tmp = x;
	else
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.4)
		tmp = -0.16666666666666666 * ((x * x) / (-1.0 / x));
	elseif (x <= 2.4)
		tmp = x;
	else
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2.4], N[(-0.16666666666666666 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(-1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2.4], x, N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2.39999999999999991

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 73.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 73.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 73.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 73.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 73.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 73.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. *-commutative 73.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x\right)}{2} \]

   7. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube_binary64 85.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right)}}{2}} \]

   9. Applied rewrite-once 85.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right)}}}{2} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. pow3 85.2%

          \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right)}^{3}}}}{2} \]

       2. rem-cbrt-cube 73.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]

       3. *-commutative 73.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right) \cdot x}}{2} \]

       4. *-commutative 73.7%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x\right) \cdot x}{2} \]

       5. associate-*r* 73.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x}{2} \]

       6. associate-/l* 72.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{2}{x}}} \]

       7. frac-2neg 72.4%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{-2}{-x}}} \]

       8. metadata-eval 72.4%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{\color{blue}{-2}}{-x}} \]

       9. div-inv 72.4%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{-2 \cdot \frac{1}{-x}}} \]

       10. times-frac 73.7%

           \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{-2} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{1}{-x}}} \]

       11. metadata-eval 73.7%

           \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{1}{-x}} \]

       12. neg-mul-1 73.7%

           \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{1}{\color{blue}{-1 \cdot x}}} \]

       13. associate-/r* 73.7%

           \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{-1}}{x}}} \]

   11. Applied egg-rr 73.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{-1}{x}}} \]

   if -2.39999999999999991 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 7.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 61.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. cube-mult 61.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 61.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      5. distribute-lft-out 61.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 61.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. associate-*r* 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x\right)}{2} \]

   7. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*r* 61.1%

         \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2} \]

      4. associate-*l* 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      5. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x} \]

      6. *-commutative 61.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot x \]

      7. associate-*l* 61.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)} \cdot x \]

      8. metadata-eval 61.1%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{0.5}\right)\right) \cdot x \]

      9. metadata-eval 61.1%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right) \cdot x \]

      10. associate-*l* 61.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{-1}{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.4:\\ \;\;\;\;x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 83.6% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. cube-mult 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

   3. associate-*l* 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   4. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

   5. distribute-lft-out 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 87.4%

      \[\leadsto \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

6. Applied egg-rr 82.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 11: 52.2% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. cube-mult 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2 \cdot x}{2} \]

   3. associate-*l* 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   4. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

   5. distribute-lft-out 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 48.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

6. Final simplification 48.8%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))