2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 53.4% → 99.2%

Time: 25.5s

Alternatives: 15

Speedup: 1.9×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{1 + x}}}\right)}^{2}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (fma
   (cbrt x)
   (+ (cbrt x) (cbrt (- x -1.0)))
   (pow (/ 1.0 (cbrt (/ 1.0 (+ 1.0 x)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((x - -1.0))), pow((1.0 / cbrt((1.0 / (1.0 + x)))), 2.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(x - -1.0))), (Float64(1.0 / cbrt(Float64(1.0 / Float64(1.0 + x)))) ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x - -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 / N[Power[N[(1.0 / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. flip-+ 48.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   3. div-inv 48.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   4. unpow-prod-down 2.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   5. pow1/3 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   6. fma-neg 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. metadata-eval 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   8. fma-neg 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   9. metadata-eval 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   10. sub-neg 2.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   11. metadata-eval 2.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + \color{blue}{-1}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

3. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + -1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}^{2}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{x + \left(--1\right)}}\right)}^{2}\right)} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x + \color{blue}{1}}\right)}^{2}\right)} \]

   3. flip-+ 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}}\right)}^{2}\right)} \]

   4. clear-num 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}}}\right)}^{2}\right)} \]

   5. cbrt-div 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}}\right)}}^{2}\right)} \]

   6. metadata-eval 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x \cdot x - 1 \cdot 1}}}\right)}^{2}\right)} \]

   7. clear-num 75.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}}}}\right)}^{2}\right)} \]

   8. flip-+ 99.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x + 1}}}}\right)}^{2}\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x + 1}}}\right)}}^{2}\right)} \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{1 + x}}}\right)}^{2}\right)} \]

Alternative 2: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 0.0)
   (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (/ -1.0 x)) (cbrt (- x))))
   (/
    1.0
    (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) (cbrt (- x -1.0))) (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt((-1.0 / x)) / cbrt(-x));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((x - -1.0))), cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-1.0 / x)) / cbrt(Float64(-x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(x - -1.0))), cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[(-x), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x - -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 1.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 1.0%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 1.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 2.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 2.2%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 2.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 2.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 2.2%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 44.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 47.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 47.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 49.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. frac-2neg 49.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-\frac{1}{x}}{-x}}} \]

      3. cbrt-div 98.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-neg-frac 98.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x}}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

      2. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{x}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 93.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 91.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. flip-+ 91.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. div-inv 91.1%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      4. unpow-prod-down 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      6. fma-neg 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      8. fma-neg 3.2%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      10. sub-neg 3.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      11. metadata-eval 3.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + \color{blue}{-1}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + -1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}^{2}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{x - -1} \cdot \sqrt[3]{x - -1}}\right)} \]

      2. cbrt-unprod 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{\left(x - -1\right) \cdot \left(x - -1\right)}}\right)} \]

      3. pow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x - -1\right)}^{2}}}\right)} \]

      4. sub-neg 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + \left(--1\right)\right)}}^{2}}\right)} \]

      5. metadata-eval 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + \color{blue}{1}\right)}^{2}}\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 98.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 5e-8)
   (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (/ -1.0 x)) (cbrt (- x))))
   (/
    1.0
    (fma
     (cbrt x)
     (+ (cbrt x) (cbrt (- x -1.0)))
     (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-8) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt((-1.0 / x)) / cbrt(-x));
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + cbrt((x - -1.0))), exp((0.6666666666666666 * log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-8)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-1.0 / x)) / cbrt(Float64(-x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + cbrt(Float64(x - -1.0))), exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-8], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[(-x), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x - -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.9999999999999998e-8

   1. Initial program 6.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 1.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 1.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 1.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 2.9%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 3.0%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 3.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 3.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 3.1%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 3.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 3.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 3.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 3.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 3.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 3.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 47.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 52.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. frac-2neg 52.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-\frac{1}{x}}{-x}}} \]

      3. cbrt-div 97.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   8. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-neg-frac 97.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x}}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

      2. metadata-eval 97.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{x}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

   10. Simplified 97.7%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   if 4.9999999999999998e-8 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 98.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 97.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. flip-+ 97.7%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. div-inv 97.7%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      4. unpow-prod-down 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. pow1/3 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      6. fma-neg 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. metadata-eval 2.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      8. fma-neg 2.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      9. metadata-eval 2.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      10. sub-neg 2.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

      11. metadata-eval 2.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + \color{blue}{-1}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + -1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}^{2}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow-to-exp 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x - -1}\right) \cdot 2}}\right)} \]

      2. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}}\right)} \]

      3. pow1/3 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(x - -1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}\right)} \]

      4. log-pow 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(x - -1\right)\right)}}\right)} \]

      5. sub-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(x + \left(--1\right)\right)}\right)}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(x + \color{blue}{1}\right)\right)}\right)} \]

      7. +-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right)}\right)} \]

      8. log1p-def 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, e^{\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} \]

   9. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x - -1}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (- x -1.0))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x - -1.0));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x - -1.0))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x - -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   2. flip-+ 48.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   3. div-inv 48.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x - 1}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   4. unpow-prod-down 2.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot x - 1 \cdot 1\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

   5. pow1/3 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}} \cdot {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

   6. fma-neg 2.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. metadata-eval 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   8. fma-neg 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   9. metadata-eval 2.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}, {\left(\frac{1}{x - 1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   10. sub-neg 2.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

   11. metadata-eval 2.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + \color{blue}{-1}}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right) \]

3. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}, {\left(\frac{1}{x + -1}\right)}^{0.3333333333333333}, -\sqrt[3]{x}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x - -1} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}^{2}\right)}} \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - -1}, {\left(\sqrt[3]{x - -1}\right)}^{2}\right)} \]

Alternative 5: 98.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{t_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 5e-7)
     (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (/ -1.0 x)) (cbrt (- x))))
     (/ 1.0 (/ 1.0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt((-1.0 / x)) / cbrt(-x));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 / t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (Math.cbrt((-1.0 / x)) / Math.cbrt(-x));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 / t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 5e-7)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-1.0 / x)) / cbrt(Float64(-x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / t_0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 5e-7], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[(-x), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 7.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 2.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 4.0%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 4.1%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 4.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 52.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. frac-2neg 52.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-\frac{1}{x}}{-x}}} \]

      3. cbrt-div 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   8. Applied egg-rr 97.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-neg-frac 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x}}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

      2. metadata-eval 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{x}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

   10. Simplified 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-div 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}}} \]

   3. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}}}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 5e-7)
     (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (/ -1.0 x)) (cbrt (- x))))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt((-1.0 / x)) / cbrt(-x));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (Math.cbrt((-1.0 / x)) / Math.cbrt(-x));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 5e-7)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-1.0 / x)) / cbrt(Float64(-x))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 5e-7], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[(-x), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 7.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 2.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 4.0%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 4.1%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 4.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 52.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. frac-2neg 52.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-\frac{1}{x}}{-x}}} \]

      3. cbrt-div 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   8. Applied egg-rr 97.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-neg-frac 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{x}}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

      2. metadata-eval 97.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{x}}}{\sqrt[3]{-x}} \]

   10. Simplified 97.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}{\sqrt[3]{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 98.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 5e-7) (/ 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 2.0)) t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 / pow(cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 5e-7)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / (cbrt(x) ^ 2.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 5e-7], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 7.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 2.6%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 4.0%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 4.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 4.1%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 4.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-div 51.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 51.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}} \]

      3. cbrt-prod 96.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      4. un-div-inv 96.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      5. unpow2 96.9%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   8. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 75.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 1.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (pow x -2.0)))
   (-
    (+ 1.0 (* x (+ 0.3333333333333333 (* x -0.1111111111111111))))
    (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(pow(x, -2.0));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(Math.pow(x, -2.0));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt((x ^ -2.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[Power[x, -2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(x * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 1 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 51.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

      2. associate-/r* 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      3. *-lft-identity 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1 \cdot \frac{1}{x}}}{x}} \]

      4. associate-*l/ 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]

      5. unpow-1 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1}} \cdot \frac{1}{x}} \]

      6. unpow-1 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-1} \cdot \color{blue}{{x}^{-1}}} \]

      7. pow-sqr 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot -1\right)}}} \]

      8. metadata-eval 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-2}}} \]

   9. Simplified 52.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-2}}} \]

   if -1 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 1.0)))
   (/ 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 2.0))
   (-
    (+ 1.0 (* x (+ 0.3333333333333333 (* x -0.1111111111111111))))
    (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / pow(cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / (cbrt(x) ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(x * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 1 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-div 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}} \]

      3. cbrt-prod 95.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      4. un-div-inv 95.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      5. unpow2 95.6%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   8. Applied egg-rr 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   if -1 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 10: 75.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 1.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x))))
   (-
    (+ 1.0 (* x (+ 0.3333333333333333 (* x -0.1111111111111111))))
    (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(x * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 1 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. div-inv 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]

   8. Applied egg-rr 52.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]

   if -1 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 75.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 1.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x))))
   (- (+ 1.0 (* x 0.3333333333333333)) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 1 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x}}} \]

      2. div-inv 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]

   8. Applied egg-rr 52.6%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} \]

   if -1 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \left(1 + x \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 75.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 1.0)))
   (/ 0.3333333333333333 (cbrt (* x x)))
   (- (+ 1.0 (* x 0.3333333333333333)) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / cbrt(Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 1 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{-x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{-x \cdot x}} \]

      3. cbrt-div 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}}} \]

      4. distribute-rgt-neg-in 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 51.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. clear-num 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}{\sqrt[3]{-1}}}} \]

      2. un-div-inv 51.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}{\sqrt[3]{-1}}}} \]

      3. cbrt-undiv 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{x \cdot \left(-x\right)}{-1}}}} \]

      4. div-inv 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x \cdot \left(-x\right)\right) \cdot \frac{1}{-1}}}} \]

      5. distribute-rgt-neg-out 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-x \cdot x\right)} \cdot \frac{1}{-1}}} \]

      6. metadata-eval 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\left(-x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-1}}} \]

   10. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\left(-x \cdot x\right) \cdot -1}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{-1 \cdot \left(-x \cdot x\right)}}} \]

       2. neg-mul-1 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{-1 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}} \]

       3. associate-*r* 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

       4. metadata-eval 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{1} \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

       5. associate-*l* 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 \cdot x\right) \cdot x}}} \]

       6. *-lft-identity 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{x} \cdot x}} \]

   12. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

   if -1 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.6%

      \[\leadsto \left(1 + x \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 72.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082 \lor \neg \left(x \leq 0.26\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.082) (not (<= x 0.26)))
   (/ 0.3333333333333333 (cbrt (* x x)))
   (+ 1.0 (* x -0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.082) || !(x <= 0.26)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.082) || !(x <= 0.26)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.082) || !(x <= 0.26))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / cbrt(Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * -0.6666666666666666));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.082], N[Not[LessEqual[x, 0.26]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0820000000000000034 or 0.26000000000000001 < x

   1. Initial program 8.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. rem-cube-cbrt 3.9%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x} \]

      3. sqr-pow 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. pow1/3 5.1%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

      5. sqr-pow 5.3%

         \[\leadsto {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} \]

      6. difference-of-squares 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      7. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      8. rem-cube-cbrt 5.4%

         \[\leadsto \left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      10. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left({\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      11. +-commutative 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right)} \]

      12. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + {\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      13. rem-cube-cbrt 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}\right) \]

      14. metadata-eval 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({x}^{0.16666666666666666} + {\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 51.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{-x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 51.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{-x \cdot x}} \]

      3. cbrt-div 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}}} \]

      4. distribute-rgt-neg-in 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 51.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. clear-num 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}{\sqrt[3]{-1}}}} \]

      2. un-div-inv 51.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}{\sqrt[3]{-1}}}} \]

      3. cbrt-undiv 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{x \cdot \left(-x\right)}{-1}}}} \]

      4. div-inv 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x \cdot \left(-x\right)\right) \cdot \frac{1}{-1}}}} \]

      5. distribute-rgt-neg-out 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-x \cdot x\right)} \cdot \frac{1}{-1}}} \]

      6. metadata-eval 51.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\left(-x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-1}}} \]

   10. Applied egg-rr 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\left(-x \cdot x\right) \cdot -1}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{-1 \cdot \left(-x \cdot x\right)}}} \]

       2. neg-mul-1 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{-1 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}} \]

       3. associate-*r* 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

       4. metadata-eval 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{1} \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

       5. associate-*l* 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 \cdot x\right) \cdot x}}} \]

       6. *-lft-identity 51.2%

          \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{\color{blue}{x} \cdot x}} \]

   12. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

   if -0.0820000000000000034 < x < 0.26000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log_binary64 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied rewrite-once 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left(\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)}} \]

      2. log-div 99.9%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) - \log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) - \log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) - \log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

      5. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left(\left(1 + x\right) - \color{blue}{x}\right) - \log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

      6. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - x\right) - \log \left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left(\left(x + 1\right) - x\right) - \log \left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto e^{\log \left(\left(x + 1\right) - x\right) - \log \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(\left(x + 1\right) - x\right) - \log \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.6666666666666666 \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 94.3%

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666} \]

   8. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot -0.6666666666666666} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.082 \lor \neg \left(x \leq 0.26\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot -0.6666666666666666\\ \end{array} \]

Alternative 14: 3.6% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

3. Final simplification 3.7%

   \[\leadsto 0 \]

Alternative 15: 50.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 47.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 47.0%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))