cos2 (problem 3.4.1)

Percentage Accurate: 50.7% → 99.8%

Time: 13.5s

Alternatives: 6

Speedup: 107.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- 1.0 (cos x)) (* x x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - cos(x)) / (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - cos(x)) / (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.cos(x)) / (x * x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.cos(x)) / (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - cos(x)) / (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 50.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- 1.0 (cos x)) (* x x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - cos(x)) / (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - cos(x)) / (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.cos(x)) / (x * x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.cos(x)) / (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - cos(x)) / (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin x \cdot \frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{x}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* (sin x) (/ (tan (* x 0.5)) x)) x))

C

double code(double x) {
	return (sin(x) * (tan((x * 0.5)) / x)) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (sin(x) * (tan((x * 0.5d0)) / x)) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sin(x) * (Math.tan((x * 0.5)) / x)) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.sin(x) * (math.tan((x * 0.5)) / x)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sin(x) * Float64(tan(Float64(x * 0.5)) / x)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sin(x) * (tan((x * 0.5)) / x)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Tan[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip-- 52.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

   2. associate-/r* 52.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{\left(1 + \cos x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   3. div-inv 52.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + \cos x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   4. metadata-eval 52.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{1} - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{\left(1 + \cos x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. 1-sub-cos 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin x \cdot \sin x\right)} \cdot \frac{1}{\left(1 + \cos x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   6. pow2 74.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin x}^{2}} \cdot \frac{1}{\left(1 + \cos x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   7. *-commutative 74.6%

      \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \cos x\right)}} \]

   8. associate-*l* 74.7%

      \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \cos x\right)\right)}} \]

   9. +-commutative 74.7%

      \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\cos x + 1\right)}\right)} \]

   10. distribute-lft-in 74.6%

       \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \cos x + x \cdot 1\right)}} \]

   11. *-commutative 74.6%

       \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \left(x \cdot \cos x + \color{blue}{1 \cdot x}\right)} \]

   12. fma-def 74.7%

       \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \cos x, 1 \cdot x\right)}} \]

   13. *-lft-identity 74.7%

       \[\leadsto {\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \cos x, \color{blue}{x}\right)} \]

3. Applied egg-rr 74.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \cos x, x\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot 1}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \cos x, x\right)}} \]

   2. times-frac 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, \cos x, x\right)}} \]

   3. fma-udef 76.3%

      \[\leadsto \frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \cos x + x}} \]

   4. *-rgt-identity 76.3%

      \[\leadsto \frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x \cdot \cos x + \color{blue}{x \cdot 1}} \]

   5. distribute-lft-in 76.3%

      \[\leadsto \frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(\cos x + 1\right)}} \]

   6. +-commutative 76.3%

      \[\leadsto \frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x \cdot \color{blue}{\left(1 + \cos x\right)}} \]

   7. associate-/l/ 76.3%

      \[\leadsto \frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]

   8. associate-*l/ 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}}{x}} \]

   9. associate-*r/ 76.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}{x}}}{x} \]

   10. associate-*r/ 76.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot 1}{1 + \cos x}}}{x}}{x} \]

   11. *-rgt-identity 76.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{{\sin x}^{2}}}{1 + \cos x}}{x}}{x} \]

   12. unpow2 76.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x}}{x}}{x} \]

   13. associate-*l/ 76.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{\sin x}{1 + \cos x} \cdot \sin x}}{x}}{x} \]

   14. hang-0p-tan 76.5%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \sin x}{x}}{x} \]

   15. associate-/r* 75.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin x}{x \cdot x}} \]

   16. associate-*r/ 75.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin x}{x \cdot x}} \]

5. Simplified 75.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x}{x \cdot x} \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ 75.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{x \cdot x}} \]

   2. times-frac 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{x}} \]

   3. associate-*l/ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \frac{\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{x}}{x}} \]

   4. div-inv 99.8%

      \[\leadsto \frac{\sin x \cdot \frac{\tan \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)}}{x}}{x} \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \frac{\sin x \cdot \frac{\tan \left(x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}{x}}{x} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{x}}{x}} \]

8. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \frac{\sin x \cdot \frac{\tan \left(x \cdot 0.5\right)}{x}}{x} \]

Alternative 2: 87.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x}}{x} \cdot \left(1 - \cos x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.029)
   (/
    (- -1.0)
    (+
     (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x (* x 0.008333333333333333))))
     2.0))
   (* (/ (/ 1.0 x) x) (- 1.0 (cos x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = ((1.0 / x) / x) * (1.0 - cos(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.029d0) then
        tmp = -(-1.0d0) / (((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * 0.008333333333333333d0)))) + 2.0d0)
    else
        tmp = ((1.0d0 / x) / x) * (1.0d0 - cos(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = ((1.0 / x) / x) * (1.0 - Math.cos(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.029:
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0)
	else:
		tmp = ((1.0 / x) / x) * (1.0 - math.cos(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.029)
		tmp = Float64(Float64(-(-1.0)) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.008333333333333333)))) + 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 / x) / x) * Float64(1.0 - cos(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.029)
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	else
		tmp = ((1.0 / x) / x) * (1.0 - cos(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.029], N[((--1.0) / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0290000000000000015

   1. Initial program 36.6%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-div 36.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   3. Applied egg-rr 36.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-def 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]

      2. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}{x \cdot x} \]

      3. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      4. associate-*r/ 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{\color{blue}{2}}{x \cdot x}\right)}}{x \cdot x} \]

   6. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}{x \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      2. distribute-frac-neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      3. remove-double-neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-\left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      4. neg-mul-1 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{\left(-1\right)} \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}{-x \cdot x} \]

      6. associate-/l* 50.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{\frac{-1}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      7. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1}}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}} \]

      8. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      9. div-inv 50.3%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      10. remove-double-div 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)\right)}} \]

      11. fma-udef 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)} \]

      12. associate-+r+ 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}} \]

      13. distribute-lft-in 33.0%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{2}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 82.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}} \]

   if 0.0290000000000000015 < x

   1. Initial program 98.5%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip-- 98.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

      2. div-inv 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

      3. times-frac 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]

      4. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1} - \cos x \cdot \cos x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

      5. 1-sub-cos 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

      6. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin x}^{2}}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

   3. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. frac-times 97.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}{x \cdot x}} \]

      2. div-inv 97.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

      3. unpow2 97.9%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x}}{x \cdot x} \]

      4. 1-sub-cos 98.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 - \cos x \cdot \cos x}}{1 + \cos x}}{x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 98.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot 1} - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}}{x \cdot x} \]

      6. flip-- 98.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 - \cos x}}{x \cdot x} \]

      7. remove-double-div 98.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

      8. clear-num 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}} \]

      9. associate-*r/ 98.5%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot \frac{x}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}} \]

      10. remove-double-div 98.6%

          \[\leadsto \frac{1}{x \cdot \frac{x}{\color{blue}{1 - \cos x}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x \cdot \frac{x}{1 - \cos x}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{1 - \cos x}}} \]

      2. associate-/r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x} \cdot \left(1 - \cos x\right)} \]

   7. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{x} \cdot \left(1 - \cos x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x}}{x} \cdot \left(1 - \cos x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 87.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 - \cos x}{x \cdot x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.029)
   (/
    (- -1.0)
    (+
     (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x (* x 0.008333333333333333))))
     2.0))
   (/ (- 1.0 (cos x)) (* x x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = (1.0 - cos(x)) / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.029d0) then
        tmp = -(-1.0d0) / (((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * 0.008333333333333333d0)))) + 2.0d0)
    else
        tmp = (1.0d0 - cos(x)) / (x * x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = (1.0 - Math.cos(x)) / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.029:
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0)
	else:
		tmp = (1.0 - math.cos(x)) / (x * x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.029)
		tmp = Float64(Float64(-(-1.0)) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.008333333333333333)))) + 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / Float64(x * x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.029)
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	else
		tmp = (1.0 - cos(x)) / (x * x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.029], N[((--1.0) / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0290000000000000015

   1. Initial program 36.6%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-div 36.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   3. Applied egg-rr 36.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-def 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]

      2. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}{x \cdot x} \]

      3. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      4. associate-*r/ 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{\color{blue}{2}}{x \cdot x}\right)}}{x \cdot x} \]

   6. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}{x \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      2. distribute-frac-neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      3. remove-double-neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-\left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      4. neg-mul-1 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{\left(-1\right)} \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}{-x \cdot x} \]

      6. associate-/l* 50.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{\frac{-1}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      7. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1}}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}} \]

      8. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      9. div-inv 50.3%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      10. remove-double-div 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)\right)}} \]

      11. fma-udef 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)} \]

      12. associate-+r+ 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}} \]

      13. distribute-lft-in 33.0%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{2}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 82.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}} \]

   if 0.0290000000000000015 < x

   1. Initial program 98.5%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 - \cos x}{x \cdot x}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 87.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 - \cos x}{x}}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 0.029)
   (/
    (- -1.0)
    (+
     (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x (* x 0.008333333333333333))))
     2.0))
   (/ (/ (- 1.0 (cos x)) x) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = ((1.0 - cos(x)) / x) / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 0.029d0) then
        tmp = -(-1.0d0) / (((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * 0.008333333333333333d0)))) + 2.0d0)
    else
        tmp = ((1.0d0 - cos(x)) / x) / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 0.029) {
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	} else {
		tmp = ((1.0 - Math.cos(x)) / x) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 0.029:
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0)
	else:
		tmp = ((1.0 - math.cos(x)) / x) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.029)
		tmp = Float64(Float64(-(-1.0)) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.008333333333333333)))) + 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - cos(x)) / x) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.029)
		tmp = -(-1.0) / (((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * (x * 0.008333333333333333)))) + 2.0);
	else
		tmp = ((1.0 - cos(x)) / x) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 0.029], N[((--1.0) / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.0290000000000000015

   1. Initial program 36.6%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-div 36.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   3. Applied egg-rr 36.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-def 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]

      2. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}{x \cdot x} \]

      3. unpow2 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      4. associate-*r/ 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{\color{blue}{2}}{x \cdot x}\right)}}{x \cdot x} \]

   6. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}{x \cdot x} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      2. distribute-frac-neg 50.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

      3. remove-double-neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-\left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      4. neg-mul-1 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

      5. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{\left(-1\right)} \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}{-x \cdot x} \]

      6. associate-/l* 50.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{\frac{-1}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      7. metadata-eval 50.2%

         \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1}}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}} \]

      8. frac-2neg 50.2%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      9. div-inv 50.3%

         \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

      10. remove-double-div 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)\right)}} \]

      11. fma-udef 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)} \]

      12. associate-+r+ 50.3%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}} \]

      13. distribute-lft-in 33.0%

          \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{2}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 82.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}} \]

   if 0.0290000000000000015 < x

   1. Initial program 98.5%

      \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip-- 98.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

      2. div-inv 98.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}}{x \cdot x} \]

      3. times-frac 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \cos x \cdot \cos x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]

      4. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1} - \cos x \cdot \cos x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

      5. 1-sub-cos 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

      6. pow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin x}^{2}}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x} \]

   3. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{\frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\sin x}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}{x}} \]

      2. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2} \cdot \frac{1}{1 + \cos x}}{x}}}{x} \]

      3. div-inv 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{1 + \cos x}}}{x}}{x} \]

      4. unpow2 99.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\sin x \cdot \sin x}}{1 + \cos x}}{x}}{x} \]

      5. 1-sub-cos 99.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{1 - \cos x \cdot \cos x}}{1 + \cos x}}{x}}{x} \]

      6. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot 1} - \cos x \cdot \cos x}{1 + \cos x}}{x}}{x} \]

      7. flip-- 99.5%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 - \cos x}}{x}}{x} \]

   5. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 - \cos x}{x}}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.029:\\ \;\;\;\;\frac{--1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 - \cos x}{x}}{x}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 78.1% accurate, 10.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{--1}{2 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- -1.0) (+ 2.0 (* x (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return -(-1.0) / (2.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -(-1.0d0) / (2.0d0 + (x * (x * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -(-1.0) / (2.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return -(-1.0) / (2.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-(-1.0)) / Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -(-1.0) / (2.0 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[((--1.0) / N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. remove-double-div 52.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

3. Applied egg-rr 52.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{1 - \cos x}}}}{x \cdot x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 52.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-def 52.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {x}^{2}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}}{x \cdot x} \]

   2. unpow2 52.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot x}, 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}}{x \cdot x} \]

   3. unpow2 52.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, 2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

   4. associate-*r/ 52.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \color{blue}{\frac{2 \cdot 1}{x \cdot x}}\right)}}{x \cdot x} \]

   5. metadata-eval 52.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{\color{blue}{2}}{x \cdot x}\right)}}{x \cdot x} \]

6. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}{x \cdot x} \]
7. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

   2. distribute-frac-neg 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}{-x \cdot x}} \]

   3. remove-double-neg 52.0%

      \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-\left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

   4. neg-mul-1 52.0%

      \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}}{-x \cdot x} \]

   5. metadata-eval 52.0%

      \[\leadsto -\frac{\color{blue}{\left(-1\right)} \cdot \left(-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)}{-x \cdot x} \]

   6. associate-/l* 51.9%

      \[\leadsto -\color{blue}{\frac{-1}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

   7. metadata-eval 51.9%

      \[\leadsto -\frac{\color{blue}{-1}}{\frac{-x \cdot x}{-\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}} \]

   8. frac-2neg 51.9%

      \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

   9. div-inv 52.0%

      \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)}}}} \]

   10. remove-double-div 52.0%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, x \cdot x, \frac{2}{x \cdot x}\right)\right)}} \]

   11. fma-udef 52.0%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}\right)} \]

   12. associate-+r+ 52.0%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \frac{2}{x \cdot x}\right)}} \]

   13. distribute-lft-in 25.4%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.008333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{2}{x \cdot x}}} \]

8. Applied egg-rr 76.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{-1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.008333333333333333\right)\right) + 2}} \]

9. Taylor expanded in x around 0 78.3%

   \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} + 2} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 78.3%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + 2} \]

    2. unpow2 78.3%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + 2} \]

    3. associate-*r* 78.3%

       \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + 2} \]

11. Simplified 78.3%

    \[\leadsto -\frac{-1}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + 2} \]

12. Final simplification 78.3%

    \[\leadsto \frac{--1}{2 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

Alternative 6: 51.7% accurate, 107.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.5)

C

double code(double x) {
	return 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5;
}

Python

def code(x):
	return 0.5

Julia

function code(x)
	return 0.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5;
end

Wolfram

code[x_] := 0.5

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\frac{1 - \cos x}{x \cdot x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

3. Final simplification 49.6%

   \[\leadsto 0.5 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (x)
  :name "cos2 (problem 3.4.1)"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (cos x)) (* x x)))