UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 99.3%

Time: 33.7s

Alternatives: 14

Speedup: 0.9×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \langle \left( \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux + -1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {\left(ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (cast
  (!
   :precision
   binary64
   (fma
    (* (- 1.0 ux) maxCos)
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* (+ ux -1.0) (* (- 1.0 ux) (pow (* ux maxCos) 2.0)))))
     (+
      (*
       (cast
        (!
         :precision
         binary32
         (cast (! :precision binary64 (cos (* (* -2.0 PI) uy))))))
       xi)
      (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	double tmp_6 = cos(((-2.0 * ((double) M_PI)) * ((double) uy)));
	double tmp_5 = (float) tmp_6;
	double tmp_3 = fma(((1.0 - ((double) ux)) * ((double) maxCos)), (((double) ux) * ((double) zi)), (sqrt((1.0 + ((((double) ux) + -1.0) * ((1.0 - ((double) ux)) * pow((((double) ux) * ((double) maxCos)), 2.0))))) * ((((double) tmp_5) * ((double) xi)) + (sin((2.0 * (((double) uy) * ((double) M_PI)))) * ((double) yi)))));
	return (float) tmp_3;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp_6 = cos(Float64(Float64(-2.0 * pi) * Float64(uy)))
	tmp_5 = Float32(tmp_6)
	tmp_3 = fma(Float64(Float64(1.0 - Float64(ux)) * Float64(maxCos)), Float64(Float64(ux) * Float64(zi)), Float64(sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(ux) + -1.0) * Float64(Float64(1.0 - Float64(ux)) * (Float64(Float64(ux) * Float64(maxCos)) ^ 2.0))))) * Float64(Float64(Float64(tmp_5) * Float64(xi)) + Float64(sin(Float64(2.0 * Float64(Float64(uy) * pi))) * Float64(yi)))))
	return Float32(tmp_3)
end

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. rewrite-binary64/binary32-simplify 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \rangle_{\text{binary64}}} \]

3. Applied rewrite-once 99.3%

   \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 99.3%

   \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

6. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   2. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   3. distribute-lft-in 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot -1\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   4. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   5. distribute-lft-in 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot ux\right) + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(-\left(1 - ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({ux}^{2} \cdot \left(-\left(1 - ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) + {ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   2. distribute-rgt-neg-out 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-{ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right)\right) + {ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   3. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) + {ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   4. mul-1-neg 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(-1 \cdot \left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) + {ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   5. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot -1 + {ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   6. associate-*r* 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot -1 + \left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   7. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot -1 + \left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot ux\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   8. distribute-lft-out 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(-1 + ux\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   9. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(-1 + ux\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

   10. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({maxCos}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right) \cdot \left(-1 + ux\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({maxCos}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right) \cdot \left(-1 + ux\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(-1 + ux\right) \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    2. associate-*r* 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    3. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    4. unpow2 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    5. sub-neg 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    6. distribute-rgt-in 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    7. *-lft-identity 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(ux \cdot ux + \left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    8. distribute-lft-in 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    9. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left({maxCos}^{2} \cdot \left(-1 + ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    10. +-commutative 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left({maxCos}^{2} \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    11. unpow2 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left({maxCos}^{2} \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot {ux}^{2} + \left(\left(-1 + ux\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-ux\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

12. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left({maxCos}^{2} \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot {ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot {\left(-ux\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left({maxCos}^{2} \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left({ux}^{2} + {\left(-ux\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    2. *-commutative 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} + {\left(-ux\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    3. cube-neg 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    4. unpow2 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(ux \cdot ux + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    5. sqr-neg 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-ux\right) \cdot \left(-ux\right) + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    6. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot \left(-ux\right) + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    7. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    8. swap-sqr 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(-1 \cdot -1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    9. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot \left(ux \cdot ux\right) + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    10. unpow2 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {ux}^{2} + \left(-{ux}^{3}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    11. cube-mult 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {ux}^{2} + \left(-ux \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    12. unpow2 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {ux}^{2} + \left(-ux \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    13. distribute-lft-neg-in 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {ux}^{2} + \left(-ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    14. distribute-rgt-in 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(1 + \left(-ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    15. sub-neg 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

    16. *-commutative 99.3%

        \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(\left(ux + -1\right) \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

14. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(-1 + ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {\left(ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

15. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + \left(ux + -1\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot {\left(ux \cdot maxCos\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\langle \left( \langle \left( \cos \left(\left(-2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

Alternative 2: 99.3% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \langle \left( \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot t_0\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (cast
  (!
   :precision
   binary64
   (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
     (fma
      t_0
      (* ux zi)
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) (* maxCos t_0))))))
       (+ (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) yi) (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	double t_0_1 = (1.0 - ((double) ux)) * ((double) maxCos);
	double tmp = fma(t_0_1, (((double) ux) * ((double) zi)), (sqrt((1.0 + (((double) ux) * (((double) ux) * ((((double) ux) + -1.0) * (((double) maxCos) * t_0_1)))))) * ((sin((2.0 * (((double) uy) * ((double) M_PI)))) * ((double) yi)) + (((double) xi) * cos((((double) M_PI) * (-2.0 * ((double) uy))))))));
	return (float) tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0_1 = Float64(Float64(1.0 - Float64(ux)) * Float64(maxCos))
	tmp = fma(t_0_1, Float64(Float64(ux) * Float64(zi)), Float64(sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(ux) * Float64(Float64(ux) * Float64(Float64(Float64(ux) + -1.0) * Float64(Float64(maxCos) * t_0_1)))))) * Float64(Float64(sin(Float64(2.0 * Float64(Float64(uy) * pi))) * Float64(yi)) + Float64(Float64(xi) * cos(Float64(pi * Float64(-2.0 * Float64(uy))))))))
	return Float32(tmp)
end

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

2. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \langle \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) \rangle_{\text{binary64}} \]

Alternative 3: 99.2% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \langle \left( \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right) \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (* maxCos (- 1.0 ux))
  (* ux zi)
  (cast
   (!
    :precision
    binary64
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) (* maxCos (* (- 1.0 ux) maxCos)))))))
     (+ (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) yi) (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	double tmp = sqrt((1.0 + (((double) ux) * (((double) ux) * ((((double) ux) + -1.0) * (((double) maxCos) * ((1.0 - ((double) ux)) * ((double) maxCos)))))))) * ((sin((2.0 * (((double) uy) * ((double) M_PI)))) * ((double) yi)) + (((double) xi) * cos((((double) M_PI) * (-2.0 * ((double) uy))))));
	return fmaf((maxCos * (1.0f - ux)), (ux * zi), ((float) tmp));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float64(sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(ux) * Float64(Float64(ux) * Float64(Float64(Float64(ux) + -1.0) * Float64(Float64(maxCos) * Float64(Float64(1.0 - Float64(ux)) * Float64(maxCos)))))))) * Float64(Float64(sin(Float64(2.0 * Float64(Float64(uy) * pi))) * Float64(yi)) + Float64(Float64(xi) * cos(Float64(pi * Float64(-2.0 * Float64(uy)))))))
	return fma(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)), Float32(ux * zi), Float32(tmp))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. rewrite-binary32/binary64 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \langle \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \rangle_{\text{binary64}}\right)} \]

5. Applied rewrite-once 99.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \color{blue}{\langle \color{blue}{\sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)} \rangle_{\text{binary64}}}\right) \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \langle \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right) \rangle_{\text{binary64}}\right) \]

Alternative 4: 99.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \langle \left( \langle \left( \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy + uy\right)\right)\right)\right) \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \right)_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary32}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (cast
  (!
   :precision
   binary64
   (cast
    (!
     :precision
     binary32
     (fma
      maxCos
      (* ux (* zi (- 1.0 ux)))
      (*
       (sqrt
        (fma ux (* ux (* (* maxCos (- 1.0 ux)) (* maxCos (+ ux -1.0)))) 1.0))
       (fma xi (cos (* -2.0 (* uy PI))) (* yi (sin (* PI (+ uy uy))))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp_2 = fmaf(maxCos, (ux * (zi * (1.0f - ux))), (sqrtf(fmaf(ux, (ux * ((maxCos * (1.0f - ux)) * (maxCos * (ux + -1.0f)))), 1.0f)) * fmaf(xi, cosf((-2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), (yi * sinf((((float) M_PI) * (uy + uy)))))));
	float tmp_1 = (double) tmp_2;
	return (float) tmp_1;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp_2 = fma(maxCos, Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux))), Float32(sqrt(fma(ux, Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))), Float32(1.0))) * fma(xi, cos(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(yi * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy + uy)))))))
	tmp_1 = Float64(tmp_2)
	return Float32(tmp_1)
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. rewrite-binary32/binary64-simplify 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

5. Applied rewrite-once 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\langle \color{blue}{\langle \color{blue}{\left( \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(-1 + ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy + uy\right)\right)\right)\right)} \right)_{\text{binary32}}} \rangle_{\text{binary64}}} \rangle_{\text{binary64}}} \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \langle \langle \left( \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy + uy\right)\right)\right)\right) \right)_{\text{binary32}} \rangle_{\text{binary64}} \rangle_{\text{binary64}} \]

Alternative 5: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot t_1, \mathsf{fma}\left(t_1 \cdot \sin t_0, yi, maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_1
         (sqrt
          (-
           1.0
           (* ux (* (* (* maxCos (- 1.0 ux)) (* ux maxCos)) (- 1.0 ux)))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* xi t_1)
    (fma (* t_1 (sin t_0)) yi (* maxCos (* (* ux zi) (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (ux * (((maxCos * (1.0f - ux)) * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))));
	return fmaf(cosf(t_0), (xi * t_1), fmaf((t_1 * sinf(t_0)), yi, (maxCos * ((ux * zi) * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
	return fma(cos(t_0), Float32(xi * t_1), fma(Float32(t_1 * sin(t_0)), yi, Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * zi) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* maxCos (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* (* ux t_0) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* t_0 (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos * (1.0f - ux);
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_2 = sqrtf((1.0f + ((ux * t_0) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (t_0 * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * t_0) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(t_0 * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 7: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (fma
    (cos t_0)
    (*
     xi
     (sqrt
      (- 1.0 (* ux (* (* (* maxCos (- 1.0 ux)) (* ux maxCos)) (- 1.0 ux))))))
    (+ (* maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux)))) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return fmaf(cosf(t_0), (xi * sqrtf((1.0f - (ux * (((maxCos * (1.0f - ux)) * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))))), ((maxCos * (ux * (zi * (1.0f - ux)))) + (yi * sinf(t_0))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return fma(cos(t_0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 8: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (* maxCos (- 1.0 ux))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* (* maxCos maxCos) (+ ux -1.0))))))
   (+ (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))) (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos * (1.0f - ux)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * ((maxCos * maxCos) * (ux + -1.0f)))))) * ((yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI))))) + (xi * cosf((((float) M_PI) * (-2.0f * uy)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-2.0) * uy)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in ux around 0 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, yi \cdot \sin t_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.00039999998989515007)
     (fma
      (* maxCos (- 1.0 ux))
      (* ux zi)
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* (* maxCos maxCos) (+ ux -1.0))))))
       (+ (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy)))) (* (* 2.0 uy) (* PI yi)))))
     (fma
      (cos t_0)
      (* xi (sqrt (- 1.0 (* ux (* (* maxCos (* ux maxCos)) (- 1.0 ux))))))
      (+ (* yi (sin t_0)) (* maxCos (* ux zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = fmaf((maxCos * (1.0f - ux)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * ((maxCos * maxCos) * (ux + -1.0f)))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (-2.0f * uy)))) + ((2.0f * uy) * (((float) M_PI) * yi)))));
	} else {
		tmp = fmaf(cosf(t_0), (xi * sqrtf((1.0f - (ux * ((maxCos * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))))), ((yi * sinf(t_0)) + (maxCos * (ux * zi))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = fma(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-2.0) * uy)))) + Float32(Float32(Float32(2.0) * uy) * Float32(Float32(pi) * yi)))));
	else
		tmp = fma(cos(t_0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))), Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 3.9999999e-4

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in uy around 0 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

      2. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

   6. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

   7. Taylor expanded in ux around 0 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

   if 3.9999999e-4 < uy

   1. Initial program 98.0%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in ux around 0 95.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

   5. Taylor expanded in ux around 0 95.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 90.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (* maxCos (- 1.0 ux))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* (* maxCos maxCos) (+ ux -1.0))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy)))) (* (* 2.0 uy) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos * (1.0f - ux)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * ((maxCos * maxCos) * (ux + -1.0f)))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (-2.0f * uy)))) + ((2.0f * uy) * (((float) M_PI) * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-2.0) * uy)))) + Float32(Float32(Float32(2.0) * uy) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right), ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 11: 87.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  maxCos
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* (* maxCos maxCos) (+ ux -1.0))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* -2.0 uy)))) (* (* 2.0 uy) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(maxCos, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * ((maxCos * maxCos) * (ux + -1.0f)))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (-2.0f * uy)))) + ((2.0f * uy) * (((float) M_PI) * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(maxCos, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-2.0) * uy)))) + Float32(Float32(Float32(2.0) * uy) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 92.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{maxCos}, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 12: 59.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}{\frac{-1 - ux}{-1 + ux \cdot ux}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* 2.0 (* uy PI)))
  (*
   xi
   (sqrt
    (- 1.0 (* ux (* (* (* maxCos (- 1.0 ux)) (* ux maxCos)) (- 1.0 ux))))))
  (/ (* maxCos (* ux zi)) (/ (- -1.0 ux) (+ -1.0 (* ux ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - (ux * (((maxCos * (1.0f - ux)) * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))))), ((maxCos * (ux * zi)) / ((-1.0f - ux) / (-1.0f + (ux * ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) / Float32(Float32(Float32(-1.0) - ux) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt_binary32 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrite-once 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right) \]

6. Taylor expanded in uy around 0 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)}\right) \]

   3. flip-- 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - ux \cdot ux}{1 + ux}}\right) \]

   4. frac-2neg 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-\left(1 \cdot 1 - ux \cdot ux\right)}{-\left(1 + ux\right)}}\right) \]

   5. associate-*r/ 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-\left(1 \cdot 1 - ux \cdot ux\right)\right)}{-\left(1 + ux\right)}}\right) \]

   6. metadata-eval 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-\left(\color{blue}{1} - ux \cdot ux\right)\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   7. sub-neg 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-\color{blue}{\left(1 + \left(-ux \cdot ux\right)\right)}\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   8. distribute-neg-in 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-1\right) + \left(-\left(-ux \cdot ux\right)\right)\right)}}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   9. metadata-eval 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{-1} + \left(-\left(-ux \cdot ux\right)\right)\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + \left(-\color{blue}{ux \cdot \left(-ux\right)}\right)\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   11. distribute-lft-neg-out 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{\left(-ux\right) \cdot \left(-ux\right)}\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   12. sqr-neg 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + \color{blue}{ux \cdot ux}\right)}{-\left(1 + ux\right)}\right) \]

   13. distribute-neg-in 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot ux\right)}{\color{blue}{\left(-1\right) + \left(-ux\right)}}\right) \]

   14. metadata-eval 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot ux\right)}{\color{blue}{-1} + \left(-ux\right)}\right) \]

8. Applied egg-rr 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\frac{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot ux\right)}{-1 + \left(-ux\right)}}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}{\frac{-1 + \left(-ux\right)}{-1 + ux \cdot ux}}}\right) \]

   2. unsub-neg 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}{\frac{\color{blue}{-1 - ux}}{-1 + ux \cdot ux}}\right) \]

10. Simplified 62.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}{\frac{-1 - ux}{-1 + ux \cdot ux}}}\right) \]

11. Final simplification 62.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, \frac{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}{\frac{-1 - ux}{-1 + ux \cdot ux}}\right) \]

Alternative 13: 59.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* 2.0 (* uy PI)))
  (*
   xi
   (sqrt
    (- 1.0 (* ux (* (* (* maxCos (- 1.0 ux)) (* ux maxCos)) (- 1.0 ux))))))
  (* maxCos (* zi (* ux (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - (ux * (((maxCos * (1.0f - ux)) * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))))), (maxCos * (zi * (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))), Float32(maxCos * Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt_binary32 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrite-once 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right) \]

6. Taylor expanded in uy around 0 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(-maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(-{ux}^{2} \cdot zi\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   3. unpow2 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(-\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot zi\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   4. associate-*r* 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(-\color{blue}{ux \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   5. *-commutative 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(-\color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot ux}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-out 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(-ux\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   7. associate-*l* 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(-ux\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   8. *-commutative 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(-ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

   9. distribute-lft1-in 62.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(-ux\right) + 1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   10. +-commutative 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)}\right) \]

   13. associate-*r* 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   14. *-commutative 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(\color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* 62.4%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

9. Simplified 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 62.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 14: 59.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* 2.0 (* uy PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* ux (* (* maxCos (* ux maxCos)) (- 1.0 ux))))))
  (* maxCos (* ux (* zi (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - (ux * ((maxCos * (ux * maxCos)) * (1.0f - ux)))))), (maxCos * (ux * (zi * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(1.0) - ux)))))), Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt_binary32 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right)} \]

5. Applied rewrite-once 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{uy \cdot \pi} \cdot \sqrt{uy \cdot \pi}\right)}\right), yi, maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right)\right) \]

6. Taylor expanded in uy around 0 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 62.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023297 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))