bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 51.1% → 96.5%

Time: 16.7s

Alternatives: 5

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 3.7207246593530164e+50

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 51.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(--0.16666666666666666\right) - \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (-
  (* (* x x) (- -0.16666666666666666))
  (+
   (* -0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (+
    (* 2.6455026455026456e-5 (pow x 8.0))
    (* 0.005555555555555556 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * -(-0.16666666666666666)) - ((-0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + ((2.6455026455026456e-5 * pow(x, 8.0)) + (0.005555555555555556 * pow(x, 4.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * -(-0.16666666666666666d0)) - (((-0.0003527336860670194d0) * (x ** 6.0d0)) + ((2.6455026455026456d-5 * (x ** 8.0d0)) + (0.005555555555555556d0 * (x ** 4.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * -(-0.16666666666666666)) - ((-0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + ((2.6455026455026456e-5 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0))));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * -(-0.16666666666666666)) - ((-0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + ((2.6455026455026456e-5 * math.pow(x, 8.0)) + (0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(-(-0.16666666666666666))) - Float64(Float64(-0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * -(-0.16666666666666666)) - ((-0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + ((2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + (0.005555555555555556 * (x ^ 4.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * (--0.16666666666666666)), $MachinePrecision] - N[(N[(-0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.6455026455026456e-5 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. clear-num 50.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{x}{\sinh x}}\right)} \]

   2. log-rec 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

3. Applied egg-rr 50.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-\log \left(\frac{x}{\sinh x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto -\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow2 97.5%

      \[\leadsto -\left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative 97.5%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* 97.5%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 44.5%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{\sqrt{x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt{x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-unprod 48.6%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* 48.6%

      \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 48.6%

      \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* 48.6%

      \[\leadsto -\left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative 48.6%

      \[\leadsto -\left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   10. swap-sqr 48.6%

       \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval 48.6%

       \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval 48.6%

       \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   13. swap-sqr 48.6%

       \[\leadsto -\left(\sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-unprod 48.2%

       \[\leadsto -\left(\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   15. add-sqr-sqrt 48.2%

       \[\leadsto -\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   16. expm1-log1p-u 48.2%

       \[\leadsto -\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   17. expm1-udef 48.8%

       \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 1\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 49.5%

   \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(\left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 1\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 49.5%

      \[\leadsto -\left(\left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} - 1\right) + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ 97.5%

      \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 - 1\right)\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval 97.5%

      \[\leadsto -\left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{0}\right) + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.5%

   \[\leadsto -\left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0\right)} + \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(--0.16666666666666666\right) - \left(-0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

Alternative 2: 96.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
  (+
   (* (pow x 8.0) -2.6455026455026456e-5)
   (+ (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194) (* (* x x) 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((pow(x, 8.0) * -2.6455026455026456e-5) + ((pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + (((x ** 8.0d0) * (-2.6455026455026456d-5)) + (((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0) + ((x * x) * 0.16666666666666666d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((Math.pow(x, 8.0) * -2.6455026455026456e-5) + ((Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + ((math.pow(x, 8.0) * -2.6455026455026456e-5) + ((math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194) + ((x * x) * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64(Float64((x ^ 8.0) * -2.6455026455026456e-5) + Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + (((x ^ 8.0) * -2.6455026455026456e-5) + (((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194) + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision] * -2.6455026455026456e-5), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 97.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

   2. add-cbrt-cube 64.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. pow1/3 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}}\right)\right) \]

   4. pow3 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left({\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   5. *-commutative 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left({\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   6. unpow-prod-down 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\color{blue}{\left({\left(x \cdot x\right)}^{3} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   7. pow-prod-down 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   8. pow-prod-up 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   9. metadata-eval 63.6%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.16666666666666666}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   10. metadata-eval 63.6%

       \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + {\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.004629629629629629}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 63.6%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{{\left({x}^{6} \cdot 0.004629629629629629\right)}^{0.3333333333333333}}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 64.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}\right)\right) \]

6. Simplified 64.7%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6} \cdot 0.004629629629629629}}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. cbrt-prod 64.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{0.004629629629629629}}\right)\right) \]

   2. metadata-eval 64.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{{x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot 0.16666666666666666}}\right)\right) \]

   3. metadata-eval 64.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{{x}^{6}} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot 0.16666666666666666}\right)\right) \]

   4. add-cbrt-cube 64.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{{x}^{6}} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)\right) \]

   5. metadata-eval 64.8%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{\left(3 + 3\right)}}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

   6. pow-prod-up 64.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot {x}^{3}}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

   7. pow-prod-down 64.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{3}}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

   8. pow3 64.7%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

   9. add-cbrt-cube 97.5%

      \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}\right)\right) \]

9. Final simplification 97.5%

   \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \left({x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} + \left({x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 3: 72.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (sqrt (* (* x x) 0.027777777777777776))))

C

double code(double x) {
	return x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * Math.sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
}

Python

def code(x):
	return x * math.sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * sqrt(Float64(Float64(x * x) * 0.027777777777777776)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.8%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   2. fma-def 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   3. unpow2 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

4. Simplified 49.8%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   3. associate-*l* 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 45.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

   2. sqrt-unprod 73.5%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   3. swap-sqr 73.6%

      \[\leadsto x \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   4. metadata-eval 73.6%

      \[\leadsto x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

9. Applied egg-rr 73.6%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}} \]

10. Final simplification 73.6%

    \[\leadsto x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776} \]

Alternative 4: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 5: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.0%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 49.8%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   2. fma-def 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   3. unpow2 49.8%

      \[\leadsto \log \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

4. Simplified 49.8%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   3. associate-*l* 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

8. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 97.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023293 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))