2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 97.9%

Time: 5.7s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   3.0
   (+
    (fma
     0.3333333333333333
     (cos (fma 0.3333333333333333 (acos (/ g h)) (* 0.6666666666666666 PI)))
     1.0)
    -1.0))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * (fma(0.3333333333333333, cos(fma(0.3333333333333333, acos((g / h)), (0.6666666666666666 * ((double) M_PI)))), 1.0) + -1.0));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * Float64(fma(0.3333333333333333, cos(fma(0.3333333333333333, acos(Float64(g / h)), Float64(0.6666666666666666 * pi))), 1.0) + -1.0)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[(3.0 * N[(N[(0.3333333333333333 * N[Cos[N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right)\right) \]

   6. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   8. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. expm1-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} - 1\right)}\right) \]

   3. pow1/3 95.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   4. log-pow 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   5. add-log-exp 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   6. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} - 1\right)\right) \]

   8. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   9. fma-def 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} - 1\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

    2. log1p-udef 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    3. add-exp-log 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    5. fma-def 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right), 1\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    6. fma-udef 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right), 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    9. fma-def 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval 98.7%

        \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + -1\right)}\right) \]

12. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + -1\right)\right) \]

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(3 \cdot \left(-1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), 1\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   3.0
   (+
    -1.0
    (fma
     0.3333333333333333
     (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))
     1.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * (-1.0 + fma(0.3333333333333333, cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h))))), 1.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * Float64(-1.0 + fma(0.3333333333333333, cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))))), 1.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[(3.0 * N[(-1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right)\right) \]

   6. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   8. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. expm1-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} - 1\right)}\right) \]

   3. pow1/3 95.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   4. log-pow 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   5. add-log-exp 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   6. fma-udef 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} - 1\right)\right) \]

   8. +-commutative 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   9. fma-def 98.7%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} - 1\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

    2. log1p-udef 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    3. add-exp-log 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    5. fma-def 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right), 1\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    6. fma-udef 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    7. +-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right), 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    9. fma-def 98.7%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}, 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval 98.7%

        \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right), 1\right) + -1\right)}\right) \]

12. Taylor expanded in g around 0 98.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}, 1\right) + -1\right)\right) \]

13. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(-1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right), 1\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (- (/ g h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos(-(g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos(-(g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos(-(g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(-Float64(g / h))) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos(-(g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 4: 96.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos((g / h)))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 50.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   3. sqrt-unprod 92.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   4. sqr-neg 92.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   5. sqrt-unprod 47.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   6. add-sqr-sqrt 97.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   7. metadata-eval 97.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) \]

6. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023293 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))