Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 76.4% → 99.5%

Time: 19.4s

Alternatives: 19

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 76.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(x \leq 0.0005\right):\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{t_0}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (or (<= x -5e-5) (not (<= x 0.0005)))
     (/ (/ (pow t_0 2.0) (sin x)) 0.375)
     (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -5e-5) || !(x <= 0.0005)) {
		tmp = (pow(t_0, 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if ((x <= (-5d-5)) .or. (.not. (x <= 0.0005d0))) then
        tmp = ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x)) / 0.375d0
    else
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -5e-5) || !(x <= 0.0005)) {
		tmp = (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x)) / 0.375;
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -5e-5) or not (x <= 0.0005):
		tmp = (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x)) / 0.375
	else:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e-5) || !(x <= 0.0005))
		tmp = Float64(Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375);
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e-5) || ~((x <= 0.0005)))
		tmp = ((t_0 ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	else
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -5e-5], N[Not[LessEqual[x, 0.0005]], $MachinePrecision]], N[(N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.00000000000000024e-5 or 5.0000000000000001e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 25.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 30.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\right)} \]

      2. associate-*r* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \]

      3. div-inv 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \]

      4. unpow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]

      5. associate-*r* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      6. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      7. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      8. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      9. clear-num 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

      10. div-inv 99.0%

          \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      11. associate-/r* 99.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}{\frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      12. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}}}{\frac{1}{2.6666666666666665}} \]

      13. unpow2 99.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sin x}}{\frac{1}{2.6666666666666665}} \]

      14. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{\color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}} \]

   if -5.00000000000000024e-5 < x < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(x \leq 0.0005\right):\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(x \leq 0.0004\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (or (<= x -4e-5) (not (<= x 0.0004)))
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -4e-5) || !(x <= 0.0004)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if ((x <= (-4d-5)) .or. (.not. (x <= 0.0004d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -4e-5) || !(x <= 0.0004)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -4e-5) or not (x <= 0.0004):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -4e-5) || !(x <= 0.0004))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -4e-5) || ~((x <= 0.0004)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -4e-5], N[Not[LessEqual[x, 0.0004]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.00000000000000033e-5 or 4.00000000000000019e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -4.00000000000000033e-5 < x < 4.00000000000000019e-4

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5} \lor \neg \left(x \leq 0.0004\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{t_1}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0004:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -4e-5)
     (* 2.6666666666666665 (/ t_1 (sin x)))
     (if (<= x 0.0004)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	} else if (x <= 0.0004) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-4d-5)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (t_1 / sin(x))
    else if (x <= 0.0004d0) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / Math.sin(x));
	} else if (x <= 0.0004) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -4e-5:
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / math.sin(x))
	elif x <= 0.0004:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -4e-5)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_1 / sin(x)));
	elseif (x <= 0.0004)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -4e-5)
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	elseif (x <= 0.0004)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -4e-5], N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$1 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0004], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -4.00000000000000033e-5 < x < 4.00000000000000019e-4

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 4.00000000000000019e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      4. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0004:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {t_0}^{-2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -4e-5)
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (if (<= x 0.00018)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 (* (sin x) (pow t_0 -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else if (x <= 0.00018) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-4d-5)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else if (x <= 0.00018d0) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else if (x <= 0.00018) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -4e-5:
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	elif x <= 0.00018:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -4e-5)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	elseif (x <= 0.00018)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -4e-5)
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	elseif (x <= 0.00018)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * (t_0 ^ -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -4e-5], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.00018], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -4.00000000000000033e-5 < x < 1.80000000000000011e-4

   1. Initial program 55.4%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.80000000000000011e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 97.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 54.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 54.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 54.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 54.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 54.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 57.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 97.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. associate-*l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right)} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{\left(1 - -1\right)}} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]

      4. pow-div 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{1}}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]

      5. pow1 98.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]

      6. inv-pow 98.8%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]

      7. clear-num 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \cdot \left(\frac{1}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665\right) \]

      8. associate-/r/ 98.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      9. clear-num 98.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      10. frac-times 99.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 2.6666666666666665}{\frac{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \sin x}} \]

      11. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665}}{\frac{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \sin x} \]

      12. inv-pow 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \sin x} \]

      13. pow1 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{1}}} \cdot \sin x} \]

      14. pow-div 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-1 - 1\right)}} \cdot \sin x} \]

      15. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}} \cdot \sin x} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2} \cdot \sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.00018:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\frac{\frac{\sin x}{t_0}}{2.6666666666666665}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ t_0 (/ (/ (sin x) t_0) 2.6666666666666665))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 / ((sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((Math.sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 / ((math.sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(Float64(sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 / ((sin(x) / t_0) / 2.6666666666666665);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] / 2.6666666666666665), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 13.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 98.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}} \]

Alternative 6: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 / (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 8: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\sin x} \cdot \frac{t_0}{0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (* (/ t_0 (sin x)) (/ t_0 0.375))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (t_0 / Math.sin(x)) * (t_0 / 0.375);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (t_0 / math.sin(x)) * (t_0 / 0.375)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(t_0 / sin(x)) * Float64(t_0 / 0.375))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 / 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 13.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 98.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 99.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}} \]

   2. div-inv 99.5%

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   3. times-frac 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   4. clear-num 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{1}{2.6666666666666665}} \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375}} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375} \]

Alternative 9: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0} \cdot 0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ t_0 (* (/ (sin x) t_0) 0.375))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((Math.sin(x) / t_0) * 0.375);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 / ((math.sin(x) / t_0) * 0.375)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(Float64(sin(x) / t_0) * 0.375))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 13.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 98.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   2. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375} \]

Alternative 10: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\cos x, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.0053)
   (* (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)) (/ 1.0 (* (sin x) 0.375)))
   (if (<= x 0.0042)
     (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
     (/ (fma (cos x) -1.3333333333333333 1.3333333333333333) (sin x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.0053) {
		tmp = (0.5 - (cos(x) / 2.0)) * (1.0 / (sin(x) * 0.375));
	} else if (x <= 0.0042) {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = fma(cos(x), -1.3333333333333333, 1.3333333333333333) / sin(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0053)
		tmp = Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)) * Float64(1.0 / Float64(sin(x) * 0.375)));
	elseif (x <= 0.0042)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(fma(cos(x), -1.3333333333333333, 1.3333333333333333) / sin(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.0053], N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0042], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * -1.3333333333333333 + 1.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.00530000000000000002

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 53.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375} \]

      2. frac-times 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375}} \]

      3. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375} \]

      4. frac-times 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375}} \]

      5. div-inv 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}} \]

      6. pow2 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

   9. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow2 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       2. sin-mult 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   11. Applied egg-rr 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       2. +-inverses 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       3. cos-0 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       4. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       5. distribute-lft-out 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       6. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       7. *-rgt-identity 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   13. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

   if -0.00530000000000000002 < x < 0.00419999999999999974

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 0.00419999999999999974 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 57.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 98.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}} \]

       2. cancel-sign-sub-inv 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.5\right) \cdot \cos x\right)}}{\sin x} \]

       3. metadata-eval 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{-0.5} \cdot \cos x\right)}{\sin x} \]

       4. *-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\cos x \cdot -0.5}\right)}{\sin x} \]

       5. *-lft-identity 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \left(0.5 + \cos x \cdot -0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

       6. *-lft-identity 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \cos x \cdot -0.5\right)}}{\sin x} \]

       7. +-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot -0.5 + 0.5\right)}}{\sin x} \]

       8. distribute-rgt-in 98.5%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\cos x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665 + 0.5 \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

       9. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto \frac{\left(\cos x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665 + \color{blue}{1.3333333333333333}}{\sin x} \]

       10. associate-*l* 98.5%

           \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos x \cdot \left(-0.5 \cdot 2.6666666666666665\right)} + 1.3333333333333333}{\sin x} \]

       11. metadata-eval 98.5%

           \[\leadsto \frac{\cos x \cdot \color{blue}{-1.3333333333333333} + 1.3333333333333333}{\sin x} \]

       12. metadata-eval 98.5%

           \[\leadsto \frac{\cos x \cdot \color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot -0.5\right)} + 1.3333333333333333}{\sin x} \]

       13. fma-def 98.6%

           \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos x, 2.6666666666666665 \cdot -0.5, 1.3333333333333333\right)}}{\sin x} \]

       14. metadata-eval 98.6%

           \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\cos x, \color{blue}{-1.3333333333333333}, 1.3333333333333333\right)}{\sin x} \]

   12. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\cos x, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\cos x, -1.3333333333333333, 1.3333333333333333\right)}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053 \lor \neg \left(x \leq 0.0042\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0053) (not (<= x 0.0042)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (* 0.5 (cos x))) (sin x)))
   (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0053) || !(x <= 0.0042)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.0053d0)) .or. (.not. (x <= 0.0042d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (0.5d0 * cos(x))) / sin(x))
    else
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0053) || !(x <= 0.0042)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.0053) or not (x <= 0.0042):
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	else:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0053) || !(x <= 0.0042))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0053) || ~((x <= 0.0042)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	else
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0053], N[Not[LessEqual[x, 0.0042]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.00530000000000000002 or 0.00419999999999999974 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 25.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 30.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.4%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]

   if -0.00530000000000000002 < x < 0.00419999999999999974

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053 \lor \neg \left(x \leq 0.0042\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.0053)
   (* 2.6666666666666665 (* (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)) (/ 1.0 (sin x))))
   (if (<= x 0.0042)
     (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
     (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (* 0.5 (cos x))) (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.0053) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (cos(x) / 2.0)) * (1.0 / sin(x)));
	} else if (x <= 0.0042) {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.0053d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0)) * (1.0d0 / sin(x)))
    else if (x <= 0.0042d0) then
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (0.5d0 * cos(x))) / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.0053) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (Math.cos(x) / 2.0)) * (1.0 / Math.sin(x)));
	} else if (x <= 0.0042) {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.0053:
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (math.cos(x) / 2.0)) * (1.0 / math.sin(x)))
	elif x <= 0.0042:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0053)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)) * Float64(1.0 / sin(x))));
	elseif (x <= 0.0042)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.0053)
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (cos(x) / 2.0)) * (1.0 / sin(x)));
	elseif (x <= 0.0042)
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.0053], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0042], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.00530000000000000002

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 53.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 49.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 49.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 49.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 49.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 49.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   if -0.00530000000000000002 < x < 0.00419999999999999974

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 0.00419999999999999974 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 57.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.0053)
   (* (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)) (/ 1.0 (* (sin x) 0.375)))
   (if (<= x 0.0042)
     (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
     (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (* 0.5 (cos x))) (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.0053) {
		tmp = (0.5 - (cos(x) / 2.0)) * (1.0 / (sin(x) * 0.375));
	} else if (x <= 0.0042) {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.0053d0)) then
        tmp = (0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0)) * (1.0d0 / (sin(x) * 0.375d0))
    else if (x <= 0.0042d0) then
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (0.5d0 * cos(x))) / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.0053) {
		tmp = (0.5 - (Math.cos(x) / 2.0)) * (1.0 / (Math.sin(x) * 0.375));
	} else if (x <= 0.0042) {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.0053:
		tmp = (0.5 - (math.cos(x) / 2.0)) * (1.0 / (math.sin(x) * 0.375))
	elif x <= 0.0042:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0053)
		tmp = Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)) * Float64(1.0 / Float64(sin(x) * 0.375)));
	elseif (x <= 0.0042)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.0053)
		tmp = (0.5 - (cos(x) / 2.0)) * (1.0 / (sin(x) * 0.375));
	elseif (x <= 0.0042)
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.0053], N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0042], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.00530000000000000002

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 53.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 48.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375} \]

      2. frac-times 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375}} \]

      3. clear-num 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.375} \]

      4. frac-times 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375}} \]

      5. div-inv 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}} \]

      6. pow2 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

   9. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow2 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       2. sin-mult 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   11. Applied egg-rr 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       2. +-inverses 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       3. cos-0 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       4. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       5. distribute-lft-out 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       6. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

       7. *-rgt-identity 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   13. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

   if -0.00530000000000000002 < x < 0.00419999999999999974

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 0.00419999999999999974 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 54.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 57.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0053:\\ \;\;\;\;\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 14: 99.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0043 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0043) (not (<= x 0.0058)))
   (/ (+ 1.3333333333333333 (* (cos x) -1.3333333333333333)) (sin x))
   (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0043) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	} else {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.0043d0)) .or. (.not. (x <= 0.0058d0))) then
        tmp = (1.3333333333333333d0 + (cos(x) * (-1.3333333333333333d0))) / sin(x)
    else
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0043) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = (1.3333333333333333 + (Math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / Math.sin(x);
	} else {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.0043) or not (x <= 0.0058):
		tmp = (1.3333333333333333 + (math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / math.sin(x)
	else:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0043) || !(x <= 0.0058))
		tmp = Float64(Float64(1.3333333333333333 + Float64(cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0043) || ~((x <= 0.0058)))
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	else
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0043], N[Not[LessEqual[x, 0.0058]], $MachinePrecision]], N[(N[(1.3333333333333333 + N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * -1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0043 or 0.0058 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. sqr-sin-a 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. add-sqr-sqrt 25.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. sqrt-unprod 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. metadata-eval 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. swap-sqr 51.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      10. sqrt-unprod 30.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      11. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-rgt-identity 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 98.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}} \]

       2. cancel-sign-sub-inv 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.5\right) \cdot \cos x\right)}}{\sin x} \]

       3. metadata-eval 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{-0.5} \cdot \cos x\right)}{\sin x} \]

       4. *-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\cos x \cdot -0.5}\right)}{\sin x} \]

       5. distribute-rgt-in 98.4%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 \cdot 2.6666666666666665 + \left(\cos x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

       6. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.3333333333333333} + \left(\cos x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

       7. associate-*l* 98.4%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \color{blue}{\cos x \cdot \left(-0.5 \cdot 2.6666666666666665\right)}}{\sin x} \]

       8. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot \color{blue}{-1.3333333333333333}}{\sin x} \]

   12. Simplified 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}} \]

   if -0.0043 < x < 0.0058

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 55.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 55.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 7.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 3.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 7.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 55.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0043 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 15: 55.3% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 57.2%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{1.3333333333333333} \]

5. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]

Alternative 16: 55.6% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x 0.5)) 0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) / 0.75d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) / 0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / 0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) / 0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 13.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 98.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 57.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75}} \]

7. Final simplification 57.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \]

Alternative 17: 51.7% accurate, 24.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.6666666666666665
  (/ 1.0 (+ (* x -0.3333333333333333) (* 4.0 (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.6666666666666665d0 * (1.0d0 / ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (4.0d0 * (1.0d0 / x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(4.0 * Float64(1.0 / x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. div-inv 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

   3. sqr-sin-a 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   4. add-sqr-sqrt 13.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. sqrt-unprod 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   6. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   8. metadata-eval 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. swap-sqr 28.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. sqrt-unprod 16.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   12. sqr-sin-a 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   13. pow2 75.9%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

5. Applied egg-rr 75.9%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 75.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   2. sin-mult 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

7. Applied egg-rr 50.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   2. +-inverses 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   3. cos-0 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   4. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. distribute-lft-out 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   6. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. *-rgt-identity 50.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

9. Simplified 50.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. un-div-inv 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - \frac{\cos x}{2}}{\sin x}} \]

    2. clear-num 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]

    3. sub-neg 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 + \left(-\frac{\cos x}{2}\right)}}} \]

    4. div-inv 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 + \left(-\color{blue}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}\right)}} \]

    5. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 + \left(-\cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right)}} \]

    6. distribute-rgt-neg-in 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 + \color{blue}{\cos x \cdot \left(-0.5\right)}}} \]

    7. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 + \cos x \cdot \color{blue}{-0.5}}} \]

11. Applied egg-rr 50.1%

    \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 + \cos x \cdot -0.5}}} \]

12. Taylor expanded in x around 0 54.4%

    \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot x + 4 \cdot \frac{1}{x}}} \]

13. Final simplification 54.4%

    \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 18: 3.5% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot -0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x -0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * -0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (-0.6666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * -0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * -0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * -0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * -0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

6. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 25.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{x \cdot 0.6666666666666666} \cdot \sqrt{x \cdot 0.6666666666666666}} \]

   2. sqrt-unprod 16.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}} \]

   3. *-commutative 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

   4. *-commutative 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.6666666666666666 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot x\right)}} \]

   5. swap-sqr 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   6. metadata-eval 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.4444444444444444} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Applied egg-rr 16.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.4444444444444444 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{0.4444444444444444 \cdot \color{blue}{{x}^{2}}} \]

   2. *-commutative 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.4444444444444444}} \]

   3. unpow2 16.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.4444444444444444} \]

10. Simplified 16.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.4444444444444444}} \]

11. Taylor expanded in x around -inf 3.7%

    \[\leadsto \color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot x} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 3.7%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666} \]

13. Simplified 3.7%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666} \]

14. Final simplification 3.7%

    \[\leadsto x \cdot -0.6666666666666666 \]

Alternative 19: 51.2% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.0%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

6. Simplified 54.1%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

7. Final simplification 54.1%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023293 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))