invcot (example 3.9)

Percentage Accurate: 6.4% → 99.6%

Time: 12.7s

Alternatives: 5

Speedup: 35.7×

Specification

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)\\ 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, x \cdot \frac{x}{t_0}, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{t_0}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma 0.3333333333333333 x (* (pow x 3.0) -0.022222222222222223))))
   (+
    (* 0.0021164021164021165 (pow x 5.0))
    (fma
     0.1111111111111111
     (* x (/ x t_0))
     (/ (* (pow x 6.0) -0.0004938271604938272) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(0.3333333333333333, x, (pow(x, 3.0) * -0.022222222222222223));
	return (0.0021164021164021165 * pow(x, 5.0)) + fma(0.1111111111111111, (x * (x / t_0)), ((pow(x, 6.0) * -0.0004938271604938272) / t_0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma(0.3333333333333333, x, Float64((x ^ 3.0) * -0.022222222222222223))
	return Float64(Float64(0.0021164021164021165 * (x ^ 5.0)) + fma(0.1111111111111111, Float64(x * Float64(x / t_0)), Float64(Float64((x ^ 6.0) * -0.0004938271604938272) / t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 * x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(0.0021164021164021165 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.1111111111111111 * N[(x * N[(x / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * -0.0004938271604938272), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \]

   3. fma-def 99.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   2. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \]

   3. flip-+ 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   4. swap-sqr 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   5. metadata-eval 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   6. swap-sqr 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   7. metadata-eval 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{0.0004938271604938272} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   8. pow-sqr 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0004938271604938272 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   9. metadata-eval 50.3%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{\color{blue}{6}}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   10. *-commutative 50.3%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   11. div-sub 50.3%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right)} \]

   12. sub-neg 50.3%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} + \left(-\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 50.5%

   \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \frac{x \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} + \left(-\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-def 50.5%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x \cdot x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right)} \]

   2. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{x}}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   3. associate-/r/ 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \color{blue}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   4. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}} \cdot x, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   5. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223} \cdot x, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   6. fma-def 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} \cdot x, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   7. distribute-neg-frac 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \color{blue}{\frac{-{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{\color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(-0.0004938271604938272\right)}}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   9. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{{x}^{6} \cdot \color{blue}{-0.0004938271604938272}}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

   10. fma-udef 99.6%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}}\right) \]

   11. *-commutative 99.6%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}\right) \]

   12. fma-def 99.6%

       \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}\right) \]

8. Simplified 99.6%

   \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \cdot x, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right)} \]

9. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, x \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, \frac{{x}^{6} \cdot -0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, \frac{3}{x}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (fma x -0.2 (/ 3.0 x))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / fma(x, -0.2, (3.0 / x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / fma(x, -0.2, Float64(3.0 / x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(x * -0.2 + N[(3.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}} \]

   2. clear-num 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}} \]

   3. cancel-sign-sub-inv 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   4. fma-def 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   5. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot x\right)}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   6. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   7. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   8. swap-sqr 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   9. pow-prod-up 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   10. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   11. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   12. swap-sqr 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   13. metadata-eval 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.2 \cdot x + 3 \cdot \frac{1}{x}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{x \cdot -0.2} + 3 \cdot \frac{1}{x}} \]

   2. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, 3 \cdot \frac{1}{x}\right)}} \]

   3. associate-*r/ 99.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, \color{blue}{\frac{3 \cdot 1}{x}}\right)} \]

   4. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, \frac{\color{blue}{3}}{x}\right)} \]

7. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, \frac{3}{x}\right)}} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(x, -0.2, \frac{3}{x}\right)} \]

Alternative 3: 99.3% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x \cdot -0.2 + 3 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (+ (* x -0.2) (* 3.0 (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.2) + (3.0 * (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / ((x * (-0.2d0)) + (3.0d0 * (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * -0.2) + (3.0 * (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((x * -0.2) + (3.0 * (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.2) + Float64(3.0 * Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((x * -0.2) + (3.0 * (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(x * -0.2), $MachinePrecision] + N[(3.0 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}} \]

   2. clear-num 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}} \]

   3. cancel-sign-sub-inv 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   4. fma-def 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   5. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot x\right)}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   6. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   7. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   8. swap-sqr 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   9. pow-prod-up 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   10. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   11. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   12. swap-sqr 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   13. metadata-eval 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{-0.2 \cdot x + 3 \cdot \frac{1}{x}}} \]

6. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \frac{1}{x \cdot -0.2 + 3 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 4: 99.0% accurate, 21.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{3}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ 3.0 x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (3.0 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (3.0d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (3.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (3.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(3.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (3.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(3.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}} \]

   2. clear-num 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} - 0.3333333333333333 \cdot x}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}} \]

   3. cancel-sign-sub-inv 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   4. fma-def 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \left(-0.3333333333333333\right) \cdot x\right)}}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   5. metadata-eval 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, \color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot x\right)}{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   6. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   7. *-commutative 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   8. swap-sqr 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   9. pow-prod-up 50.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   10. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   11. metadata-eval 50.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272} - \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}} \]

   12. swap-sqr 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   13. metadata-eval 50.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

4. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, -0.3333333333333333 \cdot x\right)}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272 - 0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3}{x}}} \]

6. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{3}{x}} \]

Alternative 5: 98.9% accurate, 35.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} \]

3. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto x \cdot 0.3333333333333333 \]

Developer target: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.026)
   (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0)))
   (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.026d0) then
        tmp = (x / 3.0d0) * (1.0d0 + ((x * x) / 15.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.026:
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0))
	else:
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = Float64(Float64(x / 3.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) / 15.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	else
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.026], N[(N[(x / 3.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / 15.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023293 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))