ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.0% → 99.5%

Time: 19.8s

Alternatives: 7

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
    (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0)))
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))) + ((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0))) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))) + Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0))) + (-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

3. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \left(\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \cos x + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos x\right)} + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x} \]

   2. +-commutative 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \cos x}{\sin x} + \left(-\cos x\right)} \]

   3. associate-*l/ 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + \left(-\cos x\right) \]

   4. neg-mul-1 57.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x + \color{blue}{-1 \cdot \cos x} \]

   5. distribute-rgt-out 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   4. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   6. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

10. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))
  (+ (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \cos x + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos x\right)} + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x} \]

   2. +-commutative 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \cos x}{\sin x} + \left(-\cos x\right)} \]

   3. associate-*l/ 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + \left(-\cos x\right) \]

   4. neg-mul-1 57.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x + \color{blue}{-1 \cdot \cos x} \]

   5. distribute-rgt-out 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   4. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   6. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 99.4%

       \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

12. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 4: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \cos x + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos x\right)} + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x} \]

   2. +-commutative 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \cos x}{\sin x} + \left(-\cos x\right)} \]

   3. associate-*l/ 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + \left(-\cos x\right) \]

   4. neg-mul-1 57.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x + \color{blue}{-1 \cdot \cos x} \]

   5. distribute-rgt-out 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   4. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   6. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0 99.2%

    \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow2 99.2%

       \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

12. Simplified 99.2%

    \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

13. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 5: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \cos x + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos x\right)} + \frac{x \cdot \cos x}{\sin x} \]

   2. +-commutative 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \cos x}{\sin x} + \left(-\cos x\right)} \]

   3. associate-*l/ 57.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + \left(-\cos x\right) \]

   4. neg-mul-1 57.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x + \color{blue}{-1 \cdot \cos x} \]

   5. distribute-rgt-out 57.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. +-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   4. unpow2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

   6. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275}\right)\right) \]

7. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, -0.06388888888888888, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.06388888888888888 + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{6} \cdot -0.0007275132275132275\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0 98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

    2. unpow2 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

    3. associate-*l* 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

12. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

13. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 7: 2.7% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 57.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 10.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}} - \sin x}{\tan x} \]

   2. fma-neg 4.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x}, -\sin x\right)}}{\tan x} \]

   3. pow2 4.5%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}, \sqrt[3]{x}, -\sin x\right)}{\tan x} \]

3. Applied egg-rr 4.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}, \sqrt[3]{x}, -\sin x\right)}}{\tan x} \]

4. Taylor expanded in x around 0 2.7%

   \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

5. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -1 \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023293 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))