Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 97.7%

Time: 7.4s

Alternatives: 9

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   2.0
   x
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow x 3.0)
    (fma
     0.016666666666666666
     (pow x 5.0)
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0)))))
  (+
   2.0
   (+
    (* 0.002777777777777778 (pow x 6.0))
    (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (pow x 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return fma(2.0, x, fma(0.3333333333333333, pow(x, 3.0), fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), (0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0))))) / (2.0 + ((0.002777777777777778 * pow(x, 6.0)) + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + pow(x, 2.0))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(2.0, x, fma(0.3333333333333333, (x ^ 3.0), fma(0.016666666666666666, (x ^ 5.0), Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0))))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x ^ 2.0)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 * x + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 96.3%

      \[\leadsto \frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \color{blue}{\left(\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + 2 \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-+r+ 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. +-commutative 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, x, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-+r+ 96.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. +-commutative 96.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. +-commutative 96.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)}} \]

6. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)\right)}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)\right)} \]

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right), 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{\cosh x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  0.5
  (/
   (fma
    (pow x 7.0)
    0.0003968253968253968
    (fma
     x
     (fma 0.3333333333333333 (* x x) 2.0)
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
   (cosh x))))

C

double code(double x) {
	return 0.5 * (fma(pow(x, 7.0), 0.0003968253968253968, fma(x, fma(0.3333333333333333, (x * x), 2.0), (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / cosh(x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 * Float64(fma((x ^ 7.0), 0.0003968253968253968, fma(x, fma(0.3333333333333333, Float64(x * x), 2.0), Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / cosh(x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * N[(N[(N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] * 0.0003968253968253968 + N[(x * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. div-inv 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   2. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. *-commutative 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 2}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. cosh-undef 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}} \]

4. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot 1}{2 \cdot \cosh x}} \]

   2. *-commutative 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}}{2 \cdot \cosh x} \]

   3. times-frac 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}{\cosh x}} \]

   4. metadata-eval 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)}{\cosh x} \]

6. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right), {x}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)\right)}{\cosh x}} \]

7. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right), 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{\cosh x} \]

Alternative 3: 97.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
   (+
    (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
    (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* 2.0 x))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (2.0d0 * x)))) / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(2.0 * x)))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (2.0 * x)))) / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Alternative 4: 97.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* x (fma x (* x 0.3333333333333333) 2.0))
  (+ 2.0 (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * fma(x, (x * 0.3333333333333333), 2.0)) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + (x * x)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * fma(x, Float64(x * 0.3333333333333333), 2.0)) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   2. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   3. associate-*r* 96.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   4. distribute-rgt-out 96.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   5. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   6. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   7. associate-*l* 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   8. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

4. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{\color{blue}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + {x}^{2}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, {x}^{2}\right)}} \]

   2. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot x}\right)} \]

7. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{\color{blue}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)}} \]

9. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)}} \]

10. Final simplification 96.2%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \]

Alternative 5: 97.4% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* 2.0 x)) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (2.0d0 * x)) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (2.0 * x)) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(2.0 * x)) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (2.0 * x)) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]

6. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 6: 97.4% accurate, 27.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow3 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   2. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   3. associate-*r* 96.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   4. distribute-rgt-out 96.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   5. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   6. unpow2 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   7. associate-*l* 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   8. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

9. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

10. Final simplification 96.2%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 7: 96.9% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* 2.0 x) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (2.0 * x) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (2.0d0 * x) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (2.0 * x) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (2.0 * x) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(2.0 * x) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (2.0 * x) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 95.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]

6. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 8: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.75 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.75)

C

double code(double x) {
	return 0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.75d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.75;
}

Python

def code(x):
	return 0.75

Julia

function code(x)
	return 0.75
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.75;
end

Wolfram

code[x_] := 0.75

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Applied egg-rr 4.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.5}}{2 + x \cdot x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.75} \]

8. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 0.75 \]

Alternative 9: 96.8% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 9.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 95.6%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023292 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))