bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.6% → 96.9%

Time: 20.3s

Alternatives: 3

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 5.9083206196474985e+59

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 96.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.16666666666666666
  (* x x)
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (* -0.005555555555555556 (* (* x x) (* x x))))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, (x * x), ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (-0.005555555555555556 * ((x * x) * (x * x)))));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.005555555555555556 * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   3. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   4. unpow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

4. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   2. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqr-pow 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)\right) \]

   3. pow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)\right) \]

   4. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   5. pow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

9. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 96.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(-0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
  (+
   (* -0.005555555555555556 (* (* x x) (* x x)))
   (* 0.16666666666666666 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + ((-0.005555555555555556 * ((x * x) * (x * x))) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (((-0.005555555555555556d0) * ((x * x) * (x * x))) + (0.16666666666666666d0 * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + ((-0.005555555555555556 * ((x * x) * (x * x))) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + ((-0.005555555555555556 * ((x * x) * (x * x))) + (0.16666666666666666 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(Float64(-0.005555555555555556 * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + ((-0.005555555555555556 * ((x * x) * (x * x))) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.005555555555555556 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. +-commutative 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   3. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   4. unpow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. fma-def 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

4. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   2. fma-udef 97.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   3. associate-+r+ 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}} \]

6. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqr-pow 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{4}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)\right) \]

   3. pow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}\right)\right) \]

   4. metadata-eval 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   5. pow2 97.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 97.6%

   \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} \]

9. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(-0.005555555555555556 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 3: 96.4% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 96.8%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023285 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))