Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.0% → 97.4%

Time: 11.2s

Alternatives: 7

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ t_1 := \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -0.02:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x))) (t_1 (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))
   (if (<= t_1 -0.02)
     t_1
     (/
      (* x (+ (* x (* x 0.3333333333333333)) 2.0))
      (/ (- 4.0 (* (* x x) (* x x))) (- 2.0 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	double t_1 = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.02) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-x)
    t_1 = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
    if (t_1 <= (-0.02d0)) then
        tmp = t_1
    else
        tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333d0)) + 2.0d0)) / ((4.0d0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0d0 - (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	double t_1 = (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
	double tmp;
	if (t_1 <= -0.02) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	t_1 = (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)
	tmp = 0
	if t_1 <= -0.02:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	t_1 = Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= -0.02)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / Float64(Float64(4.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))) / Float64(2.0 - Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	t_1 = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= -0.02)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, -0.02], t$95$1, N[(N[(x * N[(N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(4.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))) < -0.0200000000000000004

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   if -0.0200000000000000004 < (/.f64 (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) (+.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))))

   1. Initial program 7.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 6.6%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.6%

         \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

   4. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 97.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow3 97.8%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

      2. unpow2 97.8%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

      3. associate-*r* 97.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

      4. distribute-rgt-out 97.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

      5. *-commutative 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

      6. unpow2 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

      7. associate-*l* 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

      8. fma-def 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   9. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. flip-+ 97.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}} \]

       2. metadata-eval 97.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}} \]

   11. Applied egg-rr 97.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\color{blue}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \leq -0.02:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 96.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+
   (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
   (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* x 2.0)))
  (/ 0.5 (cosh x))))

C

double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) * (0.5 / cosh(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (x * 2.0d0))) * (0.5d0 / cosh(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) * (0.5 / Math.cosh(x));
}

Python

def code(x):
	return ((0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (x * 2.0))) * (0.5 / math.cosh(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(x * 2.0))) * Float64(0.5 / cosh(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (x * 2.0))) * (0.5 / cosh(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. div-inv 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   2. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x \cdot 2}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. cosh-undef 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}} \]

4. Applied egg-rr 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   2. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{7} \cdot 0.0003968253968253968} + \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   3. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   4. fma-udef 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   5. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.016666666666666666} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   6. fma-def 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x \cdot 2\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   7. fma-udef 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   8. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + x \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   9. *-commutative 96.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, {x}^{3} \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{2 \cdot x}\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   10. fma-def 96.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, 2 \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   11. *-commutative 96.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \color{blue}{x \cdot 2}\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   12. associate-/r* 96.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\cosh x}} \]

   13. metadata-eval 96.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{0.5}}{\cosh x} \]

6. Simplified 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, x \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)} \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \]

8. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \]

Alternative 3: 96.9% accurate, 16.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (* x (+ (* x (* x 0.3333333333333333)) 2.0))
  (/ (- 4.0 (* (* x x) (* x x))) (- 2.0 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333d0)) + 2.0d0)) / ((4.0d0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0d0 - (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / Float64(Float64(4.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))) / Float64(2.0 - Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / ((4.0 - ((x * x) * (x * x))) / (2.0 - (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(4.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow3 96.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   2. unpow2 96.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   3. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   4. distribute-rgt-out 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   5. *-commutative 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   6. unpow2 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   7. associate-*l* 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   8. fma-def 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

9. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
10. Step-by-step derivation

    1. flip-+ 96.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}} \]

    2. metadata-eval 96.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}} \]

11. Applied egg-rr 96.1%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\color{blue}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}}} \]

12. Final simplification 96.1%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{\frac{4 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{2 - x \cdot x}} \]

Alternative 4: 96.9% accurate, 27.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ (* x (* x 0.3333333333333333)) 2.0)) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333d0)) + 2.0d0)) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * ((x * (x * 0.3333333333333333)) + 2.0)) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow3 96.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   2. unpow2 96.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right) + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   3. associate-*r* 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2 + x \cdot x} \]

   4. distribute-rgt-out 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2} + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

   5. *-commutative 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   6. unpow2 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   7. associate-*l* 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

   8. fma-def 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

9. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2 + x \cdot x} \]

10. Final simplification 96.1%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 5: 96.5% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 95.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]

6. Final simplification 95.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 6: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 13.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 13.5)

C

double code(double x) {
	return 13.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 13.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 13.5;
}

Python

def code(x):
	return 13.5

Julia

function code(x)
	return 13.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 13.5;
end

Wolfram

code[x_] := 13.5

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 6.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Applied egg-rr 3.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{27}}{2 + x \cdot x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 3.8%

   \[\leadsto \color{blue}{13.5} \]

8. Final simplification 3.8%

   \[\leadsto 13.5 \]

Alternative 7: 96.4% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 9.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023285 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))