Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.1s

Alternatives: 3

Speedup: 1.0×

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

Alternative 2: 61.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.1 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 2.1e-13) (sin x) (+ (sin x) (* 0.16666666666666666 (* x (* y y))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 2.1e-13) {
		tmp = sin(x);
	} else {
		tmp = sin(x) + (0.16666666666666666 * (x * (y * y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 2.1d-13) then
        tmp = sin(x)
    else
        tmp = sin(x) + (0.16666666666666666d0 * (x * (y * y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 2.1e-13) {
		tmp = Math.sin(x);
	} else {
		tmp = Math.sin(x) + (0.16666666666666666 * (x * (y * y)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 2.1e-13:
		tmp = math.sin(x)
	else:
		tmp = math.sin(x) + (0.16666666666666666 * (x * (y * y)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 2.1e-13)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = Float64(sin(x) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * Float64(y * y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 2.1e-13)
		tmp = sin(x);
	else
		tmp = sin(x) + (0.16666666666666666 * (x * (y * y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 2.1e-13], N[Sin[x], $MachinePrecision], N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 2.09999999999999989e-13

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 2.09999999999999989e-13 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x + \left(0.008333333333333333 \cdot \left({y}^{4} \cdot \sin x\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \sin x\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 63.5%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \sin x\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left({y}^{4} \cdot \sin x\right)\right)} \]

      2. associate-*r* 63.5%

         \[\leadsto \sin x + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \sin x} + 0.008333333333333333 \cdot \left({y}^{4} \cdot \sin x\right)\right) \]

      3. associate-*r* 63.5%

         \[\leadsto \sin x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \sin x + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right) \cdot \sin x}\right) \]

      4. distribute-rgt-out 63.5%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right)} \]

      5. unpow2 63.5%

         \[\leadsto \sin x + \sin x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right) \]

   4. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x + \sin x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 51.2%

      \[\leadsto \sin x + \color{blue}{x \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {y}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 51.2%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{\left(\left(0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right) \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x\right)} \]

      2. +-commutative 51.2%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x + \left(0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right) \cdot x\right)} \]

      3. unpow2 51.2%

         \[\leadsto \sin x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \cdot x + \left(0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right) \cdot x\right) \]

      4. distribute-rgt-in 51.2%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right)} \]

      5. fma-udef 51.2%

         \[\leadsto \sin x + x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right)} \]

   7. Simplified 51.2%

      \[\leadsto \sin x + \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 0.008333333333333333 \cdot {y}^{4}\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 35.5%

      \[\leadsto \sin x + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 35.5%

         \[\leadsto \sin x + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. *-commutative 35.5%

         \[\leadsto \sin x + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot x\right)} \]

      3. associate-*l* 35.5%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot x} \]

      4. *-commutative 35.5%

         \[\leadsto \sin x + \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   10. Simplified 35.5%

       \[\leadsto \sin x + \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0 35.5%

       \[\leadsto \sin x + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow2 35.5%

          \[\leadsto \sin x + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   13. Simplified 35.5%

       \[\leadsto \sin x + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.1 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 50.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (sin x))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x)

Julia

function code(x, y)
	return sin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[Sin[x], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 44.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

3. Final simplification 44.3%

   \[\leadsto \sin x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023283 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))