2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 53.4% → 99.1%

Time: 15.6s

Alternatives: 14

Speedup: 1.8×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-8}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 1e-8)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (/ 1.0 (pow (cbrt x) 2.0)))
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))
     (/ 1.0 (+ (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)) (cbrt (pow (+ 1.0 x) 2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 1e-8) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (1.0 / pow(cbrt(x), 2.0))) + (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)) + cbrt(pow((1.0 + x), 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 1e-8) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (1.0 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0))) + (Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)) + Math.cbrt(Math.pow((1.0 + x), 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 1e-8)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(1.0 / (cbrt(x) ^ 2.0))) + Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0)) + cbrt((Float64(1.0 + x) ^ 2.0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-8], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(1.0 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1e-8

   1. Initial program 5.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 39.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 39.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 42.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 42.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 42.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. cbrt-div 50.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 50.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. cbrt-prod 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. sqrt-div 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. metadata-eval 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. sqrt-unprod 28.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. add-sqr-sqrt 30.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. cbrt-div 30.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 30.2%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. cbrt-prod 55.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      12. sqrt-div 55.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      13. metadata-eval 55.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      14. sqrt-unprod 54.6%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      15. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 98.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ 98.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. *-lft-identity 98.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. associate-/l/ 98.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. unpow2 98.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1e-8 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 97.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 98.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 98.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 98.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.8%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}} \]

      3. cbrt-prod 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \]

      4. pow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \]

      2. cbrt-unprod 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}} \]

      3. pow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

      4. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}} \]

   9. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-8}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log t_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (/ 1.0 (pow (cbrt x) 2.0)))
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111))
     (exp (log t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (1.0 / pow(cbrt(x), 2.0))) + (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = exp(log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (1.0 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0))) + (Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = Math.exp(Math.log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(1.0 / (cbrt(x) ^ 2.0))) + Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = exp(log(t_0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(1.0 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 38.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. cbrt-div 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. cbrt-prod 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. sqrt-div 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. sqrt-unprod 27.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. add-sqr-sqrt 29.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. cbrt-div 29.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 29.2%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. cbrt-prod 53.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      12. sqrt-div 53.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      13. metadata-eval 53.7%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      14. sqrt-unprod 52.6%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      15. add-sqr-sqrt 98.3%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ 98.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. *-lft-identity 98.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}{\sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. associate-/l/ 98.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. unpow2 98.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 98.4%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 76.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log t_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111)
      (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x)))))
     (exp (log t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = exp(log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = Math.exp(Math.log(t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x)))));
	else
		tmp = exp(log(t_0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Exp[N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 38.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. inv-pow 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{-1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. unpow-prod-down 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1} \cdot {x}^{-1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. inv-pow 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}} \cdot {x}^{-1}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. inv-pow 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{1}{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 52.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 76.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111)
      (* 0.3333333333333333 (cbrt (* (/ 1.0 x) (/ 1.0 x)))))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * Math.cbrt(((1.0 / x) * (1.0 / x))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) * Float64(1.0 / x)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 38.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. inv-pow 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{-1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. unpow-prod-down 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{-1} \cdot {x}^{-1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. inv-pow 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}} \cdot {x}^{-1}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. inv-pow 52.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\frac{1}{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 52.4%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 75.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (* (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0))) -0.1111111111111111)
      (* 0.3333333333333333 (/ 1.0 (cbrt (* x x)))))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (cbrt((1.0 / pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (1.0 / cbrt((x * x))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (Math.cbrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0))) * -0.1111111111111111) + (0.3333333333333333 * (1.0 / Math.cbrt((x * x))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))) * -0.1111111111111111) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(1.0 / cbrt(Float64(x * x)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(N[Power[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(1.0 / N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 38.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{x \cdot x}{1}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. cbrt-div 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{x \cdot x}{1}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{x \cdot x}{1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 52.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x \cdot x}{1}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{{x}^{2}}}{1}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. /-rgt-identity 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. unpow2 52.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 52.0%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 75.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-5}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
      (* -0.1111111111111111 (cbrt (pow x -5.0))))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)))) + (-0.1111111111111111 * cbrt(pow(x, -5.0)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)))) + (-0.1111111111111111 * Math.cbrt(Math.pow(x, -5.0)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x)))) + Float64(-0.1111111111111111 * cbrt((x ^ -5.0))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.1111111111111111 * N[Power[N[Power[x, -5.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.7%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.7%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.7%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 38.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + 0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. +-commutative 38.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. unpow1/3 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. unpow2 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.027777777777777776 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. distribute-rgt-out 41.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{{\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right)} \]

      6. unpow1/3 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}} \cdot \left(-0.1388888888888889 + 0.027777777777777776\right) \]

      7. metadata-eval 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot \color{blue}{-0.1111111111111111} \]

   6. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\right)} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. expm1-udef 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} - 1\right)} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. pow-flip 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{\left(-5\right)}}}\right)} - 1\right) \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. metadata-eval 51.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{\color{blue}{-5}}}\right)} - 1\right) \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 51.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{-5}}\right)} - 1\right)} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{x}^{-5}}\right)\right)} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. expm1-log1p 51.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 51.9%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{-5}}} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} + -0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{{x}^{-5}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 99.2% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) + {t_0}^{2}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (+ (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)) + pow(t_0, 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)) + Math.pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0)) + (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 51.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 52.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. cbrt-unprod 52.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. pow2 52.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. distribute-rgt-out 52.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   8. +-commutative 52.4%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

3. Applied egg-rr 52.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 52.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 52.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 52.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 74.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 74.7%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 74.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 74.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

   8. fma-def 74.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

   9. +-commutative 74.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

   10. +-commutative 74.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 74.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 74.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

   2. unpow2 74.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}} \]

   3. cbrt-prod 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}} \]

   4. pow2 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}} \]

8. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}} \]

Alternative 8: 75.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x} - \frac{x}{\frac{1 - x}{x}}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 5e-7)
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (- (cbrt (- (/ 1.0 (- 1.0 x)) (/ x (/ (- 1.0 x) x)))) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = cbrt(((1.0 / (1.0 - x)) - (x / ((1.0 - x) / x)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x)) <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = Math.cbrt(((1.0 / (1.0 - x)) - (x / ((1.0 - x) / x)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-7)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 - x)) - Float64(x / Float64(Float64(1.0 - x) / x)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-7], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[(N[(1.0 / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(x / N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 5.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 98.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. pow1/3 96.5%

         \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. log-pow 96.5%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(x + 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. +-commutative 96.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. log1p-udef 96.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   3. Applied egg-rr 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. exp-prod 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. unpow1/3 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. log1p-udef 96.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-exp-log 98.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. flip3-+ 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{{1}^{3} + {x}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(x \cdot x - 1 \cdot x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1} + {x}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(x \cdot x - 1 \cdot x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1 + {x}^{3}}{\color{blue}{1} + \left(x \cdot x - 1 \cdot x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. *-un-lft-identity 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1 + {x}^{3}}{1 + \left(x \cdot x - \color{blue}{x}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   7. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1 + {x}^{3}}{1 + \left(x \cdot x - x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{{1}^{3}} + {x}^{3}}{1 + \left(x \cdot x - x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{{1}^{3} + {x}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot 1} + \left(x \cdot x - x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. *-un-lft-identity 98.7%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{{1}^{3} + {x}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(x \cdot x - \color{blue}{1 \cdot x}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. flip3-+ 98.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. flip-+ 98.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{1} - x \cdot x}{1 - x}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. div-sub 98.8%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{1 - x} - \frac{x \cdot x}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]

   9. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{1 - x} - \frac{x \cdot x}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/l* 98.8%

          \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{1 - x} - \color{blue}{\frac{x}{\frac{1 - x}{x}}}} - \sqrt[3]{x} \]

   11. Simplified 98.8%

       \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{1 - x} - \frac{x}{\frac{1 - x}{x}}}} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\frac{1}{1 - x} - \frac{x}{\frac{1 - x}{x}}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 75.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 5e-7) (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x)))) t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 5e-7) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 5e-7)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 5e-7], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 5.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 98.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 10: 74.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1.02\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.05) (not (<= x 1.02)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (-
    (+ 1.0 (* x (+ 0.3333333333333333 (* x -0.1111111111111111))))
    (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.02)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.02)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * (0.3333333333333333 + (x * -0.1111111111111111)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.02))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * -0.1111111111111111)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.05], N[Not[LessEqual[x, 1.02]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(x * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.05000000000000004 or 1.02 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1.05000000000000004 < x < 1.02

   1. Initial program 99.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      5. *-commutative 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot -0.1111111111111111}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1.02\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 71.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 0.24)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 0.24]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 0.23999999999999999 < x

   1. Initial program 8.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.9%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.9%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 46.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1 < x < 0.23999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

      2. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{2}}}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} \]

      4. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      5. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      6. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      8. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} - 1\right)} \]

      9. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   10. Taylor expanded in x around 0 91.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + 0.6666666666666666 \cdot x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 69.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 74.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.05) (not (<= x 1.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (- (+ 1.0 (* x 0.3333333333333333)) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (1.0 + (x * 0.3333333333333333)) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * 0.3333333333333333)) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.05], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.05000000000000004 or 1 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 47.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 50.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 50.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 50.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1.05000000000000004 < x < 1

   1. Initial program 99.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.1111111111111111 \cdot {x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      2. unpow2 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + -0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      3. associate-*r* 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{\left(-0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

      4. distribute-rgt-out 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 + -0.1111111111111111 \cdot x\right)}\right) - \sqrt[3]{x} \]

      5. *-commutative 96.8%

         \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot -0.1111111111111111}\right)\right) - \sqrt[3]{x} \]

   4. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.1111111111111111\right)\right)} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 96.3%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}\right) - \sqrt[3]{x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 96.3%

         \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}\right) - \sqrt[3]{x} \]

   7. Simplified 96.3%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}\right) - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot 0.3333333333333333\right) - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 3.6% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 3.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

3. Final simplification 3.7%

   \[\leadsto 0 \]

Alternative 14: 49.8% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 50.7%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 45.6%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 45.6%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023280 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))