invcot (example 3.9)

Percentage Accurate: 6.3% → 99.7%

Time: 19.4s

Alternatives: 4

Speedup: 35.7×

Specification

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)\\ \frac{x}{\frac{t_0}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{t_0}{0.0004938271604938272}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma x 0.3333333333333333 (* (pow x 3.0) -0.022222222222222223))))
   (-
    (/ x (/ t_0 (* x 0.1111111111111111)))
    (/ (pow x 6.0) (/ t_0 0.0004938271604938272)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = fma(x, 0.3333333333333333, (pow(x, 3.0) * -0.022222222222222223));
	return (x / (t_0 / (x * 0.1111111111111111))) - (pow(x, 6.0) / (t_0 / 0.0004938271604938272));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = fma(x, 0.3333333333333333, Float64((x ^ 3.0) * -0.022222222222222223))
	return Float64(Float64(x / Float64(t_0 / Float64(x * 0.1111111111111111))) - Float64((x ^ 6.0) / Float64(t_0 / 0.0004938271604938272)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * 0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(x / N[(t$95$0 / N[(x * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] / N[(t$95$0 / 0.0004938271604938272), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   2. fma-def 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   2. flip-+ 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   3. swap-sqr 54.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   4. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   5. swap-sqr 54.8%

      \[\leadsto \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   6. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{0.0004938271604938272} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   7. pow-prod-up 54.8%

      \[\leadsto \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0004938271604938272 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   8. metadata-eval 54.8%

      \[\leadsto \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{\color{blue}{6}}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

6. Applied egg-rr 54.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 54.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot {x}^{2}} - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 54.8%

      \[\leadsto \frac{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   2. *-commutative 54.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.1111111111111111} - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   3. associate-*r* 54.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)} - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

9. Simplified 54.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)} - 0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. div-sub 54.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

    2. cancel-sign-sub-inv 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} - \frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

    3. metadata-eval 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}} - \frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

    4. *-commutative 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}} - \frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

    5. fma-udef 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} - \frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

    6. *-commutative 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{\color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

    7. cancel-sign-sub-inv 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} \]

    8. metadata-eval 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}} \]

    9. *-commutative 54.8%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{0.3333333333333333 \cdot x + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}} \]

    10. fma-udef 54.8%

        \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} \]

11. Applied egg-rr 54.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* 99.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    2. metadata-eval 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot \color{blue}{\left(-0.022222222222222223\right)}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    3. distribute-rgt-neg-in 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{-{x}^{3} \cdot 0.022222222222222223}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    4. fma-neg 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x - {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    5. *-commutative 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} - {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    6. fma-neg 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, -{x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    7. distribute-rgt-neg-in 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(-0.022222222222222223\right)}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    8. metadata-eval 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot \color{blue}{-0.022222222222222223}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]

    9. associate-/l* 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \color{blue}{\frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

13. Simplified 99.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

14. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}{0.0004938271604938272}} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223 + x \cdot 0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.0021164021164021165 (pow x 5.0))
  (+ (* (pow x 3.0) 0.022222222222222223) (* x 0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (0.0021164021164021165 * pow(x, 5.0)) + ((pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.0021164021164021165d0 * (x ** 5.0d0)) + (((x ** 3.0d0) * 0.022222222222222223d0) + (x * 0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.0021164021164021165 * Math.pow(x, 5.0)) + ((Math.pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (0.0021164021164021165 * math.pow(x, 5.0)) + ((math.pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.0021164021164021165 * (x ^ 5.0)) + Float64(Float64((x ^ 3.0) * 0.022222222222222223) + Float64(x * 0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.0021164021164021165 * (x ^ 5.0)) + (((x ^ 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.0021164021164021165 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.022222222222222223), $MachinePrecision] + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x\right)} \]

3. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223 + x \cdot 0.3333333333333333\right) \]

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223 + x \cdot 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (pow x 3.0) 0.022222222222222223) (* x 0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * 0.022222222222222223d0) + (x * 0.3333333333333333d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * 0.022222222222222223) + Float64(x * 0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * 0.022222222222222223) + (x * 0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.022222222222222223), $MachinePrecision] + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]

3. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223 + x \cdot 0.3333333333333333 \]

Alternative 4: 99.0% accurate, 35.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.6%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} \]

3. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto x \cdot 0.3333333333333333 \]

Developer target: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.026)
   (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0)))
   (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.026d0) then
        tmp = (x / 3.0d0) * (1.0d0 + ((x * x) / 15.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.026:
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0))
	else:
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = Float64(Float64(x / 3.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) / 15.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	else
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.026], N[(N[(x / 3.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / 15.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023280 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))