math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 64.9% → 99.6%

Time: 10.2s

Alternatives: 14

Speedup: 2.8×

• 48.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 64.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -5 \lor \neg \left(t_0 \leq 2 \cdot 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im)) (exp im))))
   (if (or (<= t_0 -5.0) (not (<= t_0 2e-12)))
     (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
     (*
      (sin re)
      (+
       (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666)
       (- (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333) im))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = exp(-im) - exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 2e-12)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im) - exp(im)
    if ((t_0 <= (-5.0d0)) .or. (.not. (t_0 <= 2d-12))) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) + (((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0)) - im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.exp(-im) - Math.exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 2e-12)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.exp(-im) - math.exp(im)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -5.0) or not (t_0 <= 2e-12):
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + ((math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333) - im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 2e-12))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) + Float64(Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) - im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = exp(-im) - exp(im);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -5.0) || ~((t_0 <= 2e-12)))
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) + (((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333) - im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -5.0], N[Not[LessEqual[t$95$0, 2e-12]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5 or 1.99999999999999996e-12 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -5 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 1.99999999999999996e-12

   1. Initial program 29.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 99.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -5 \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 2 \cdot 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.002 \lor \neg \left(t_0 \leq 2 \cdot 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im)) (exp im))))
   (if (or (<= t_0 -0.002) (not (<= t_0 2e-12)))
     (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
     (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = exp(-im) - exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 2e-12)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im) - exp(im)
    if ((t_0 <= (-0.002d0)) .or. (.not. (t_0 <= 2d-12))) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.exp(-im) - Math.exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 2e-12)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.exp(-im) - math.exp(im)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -0.002) or not (t_0 <= 2e-12):
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 2e-12))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = exp(-im) - exp(im);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -0.002) || ~((t_0 <= 2e-12)))
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -0.002], N[Not[LessEqual[t$95$0, 2e-12]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -2e-3 or 1.99999999999999996e-12 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -2e-3 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 1.99999999999999996e-12

   1. Initial program 29.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.8%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.002 \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 2 \cdot 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 93.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -2.2 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -130:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin re) (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))))
   (if (<= im -2.2e+70)
     t_0
     (if (<= im -130.0)
       (* (- (exp (- im)) (exp im)) (* 0.5 re))
       (if (<= im 5.0)
         (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))
         t_0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = sin(re) * (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	double tmp;
	if (im <= -2.2e+70) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= -130.0) {
		tmp = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5 * re);
	} else if (im <= 5.0) {
		tmp = sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(re) * ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0))
    if (im <= (-2.2d+70)) then
        tmp = t_0
    else if (im <= (-130.0d0)) then
        tmp = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5d0 * re)
    else if (im <= 5.0d0) then
        tmp = sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.sin(re) * (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	double tmp;
	if (im <= -2.2e+70) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= -130.0) {
		tmp = (Math.exp(-im) - Math.exp(im)) * (0.5 * re);
	} else if (im <= 5.0) {
		tmp = Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.sin(re) * (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)
	tmp = 0
	if im <= -2.2e+70:
		tmp = t_0
	elif im <= -130.0:
		tmp = (math.exp(-im) - math.exp(im)) * (0.5 * re)
	elif im <= 5.0:
		tmp = math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(sin(re) * Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333))
	tmp = 0.0
	if (im <= -2.2e+70)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= -130.0)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)) * Float64(0.5 * re));
	elseif (im <= 5.0)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = sin(re) * ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333);
	tmp = 0.0;
	if (im <= -2.2e+70)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= -130.0)
		tmp = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5 * re);
	elseif (im <= 5.0)
		tmp = sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -2.2e+70], t$95$0, If[LessEqual[im, -130.0], N[(N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5.0], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -2.20000000000000001e70 or 5 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 93.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 93.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 93.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 93.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 93.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 93.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 93.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 93.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 93.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 93.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 93.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   if -2.20000000000000001e70 < im < -130

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in re around 0 81.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -130 < im < 5

   1. Initial program 30.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.5%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.2 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -130:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 90.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5 \lor \neg \left(im \leq 5\right):\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -5.0) (not (<= im 5.0)))
   (* (sin re) (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))
   (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0)) {
		tmp = sin(re) * (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	} else {
		tmp = sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-5.0d0)) .or. (.not. (im <= 5.0d0))) then
        tmp = sin(re) * ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0))
    else
        tmp = sin(re) * (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0)) {
		tmp = Math.sin(re) * (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -5.0) or not (im <= 5.0):
		tmp = math.sin(re) * (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0))
		tmp = Float64(sin(re) * Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -5.0) || ~((im <= 5.0)))
		tmp = sin(re) * ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333);
	else
		tmp = sin(re) * (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -5.0], N[Not[LessEqual[im, 5.0]], $MachinePrecision]], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -5 or 5 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 83.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   if -5 < im < 5

   1. Initial program 30.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.2%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5 \lor \neg \left(im \leq 5\right):\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.3 \lor \neg \left(im \leq 3.3\right):\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -3.3) (not (<= im 3.3)))
   (* (sin re) (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))
   (* (- im) (sin re))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3)) {
		tmp = sin(re) * (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	} else {
		tmp = -im * sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-3.3d0)) .or. (.not. (im <= 3.3d0))) then
        tmp = sin(re) * ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0))
    else
        tmp = -im * sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3)) {
		tmp = Math.sin(re) * (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333);
	} else {
		tmp = -im * Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -3.3) or not (im <= 3.3):
		tmp = math.sin(re) * (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)
	else:
		tmp = -im * math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3))
		tmp = Float64(sin(re) * Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333));
	else
		tmp = Float64(Float64(-im) * sin(re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -3.3) || ~((im <= 3.3)))
		tmp = sin(re) * ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333);
	else
		tmp = -im * sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -3.3], N[Not[LessEqual[im, 3.3]], $MachinePrecision]], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[((-im) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -3.2999999999999998 or 3.2999999999999998 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 83.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 83.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 83.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 83.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   if -3.2999999999999998 < im < 3.2999999999999998

   1. Initial program 30.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.3 \lor \neg \left(im \leq 3.3\right):\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \end{array} \]

Alternative 6: 82.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -8.2 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;re \cdot \sqrt{{im}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.2 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -8.2e+18)
   (* re (sqrt (* (pow im 10.0) 6.944444444444444e-5)))
   (if (<= im 8.2e+41)
     (* (- im) (sin re))
     (* -0.008333333333333333 (* re (pow im 5.0))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -8.2e+18) {
		tmp = re * sqrt((pow(im, 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	} else if (im <= 8.2e+41) {
		tmp = -im * sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * pow(im, 5.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= (-8.2d+18)) then
        tmp = re * sqrt(((im ** 10.0d0) * 6.944444444444444d-5))
    else if (im <= 8.2d+41) then
        tmp = -im * sin(re)
    else
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im ** 5.0d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -8.2e+18) {
		tmp = re * Math.sqrt((Math.pow(im, 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	} else if (im <= 8.2e+41) {
		tmp = -im * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im, 5.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= -8.2e+18:
		tmp = re * math.sqrt((math.pow(im, 10.0) * 6.944444444444444e-5))
	elif im <= 8.2e+41:
		tmp = -im * math.sin(re)
	else:
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im, 5.0))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= -8.2e+18)
		tmp = Float64(re * sqrt(Float64((im ^ 10.0) * 6.944444444444444e-5)));
	elseif (im <= 8.2e+41)
		tmp = Float64(Float64(-im) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im ^ 5.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= -8.2e+18)
		tmp = re * sqrt(((im ^ 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	elseif (im <= 8.2e+41)
		tmp = -im * sin(re);
	else
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im ^ 5.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, -8.2e+18], N[(re * N[Sqrt[N[(N[Power[im, 10.0], $MachinePrecision] * 6.944444444444444e-5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 8.2e+41], N[((-im) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -8.2e18

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 90.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 90.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 90.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 90.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 90.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 90.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 66.4%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}} \cdot \sqrt{-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}}\right)} \]

      2. sqrt-unprod 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)}} \]

      3. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{\color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

      4. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}} \]

      5. swap-sqr 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{\color{blue}{\left({im}^{5} \cdot {im}^{5}\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot -0.008333333333333333\right)}} \]

      6. pow-prod-up 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{\color{blue}{{im}^{\left(5 + 5\right)}} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      7. metadata-eval 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{{im}^{\color{blue}{10}} \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      8. metadata-eval 71.0%

         \[\leadsto re \cdot \sqrt{{im}^{10} \cdot \color{blue}{6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}} \]

   10. Applied egg-rr 71.0%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\sqrt{{im}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}} \]

   if -8.2e18 < im < 8.2000000000000007e41

   1. Initial program 36.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 89.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 89.5%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 89.5%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 89.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 89.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 8.2000000000000007e41 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 98.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 98.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 98.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 98.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 98.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 98.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 98.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -8.2 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;re \cdot \sqrt{{im}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.2 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 81.0% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.8 \cdot 10^{+51} \lor \neg \left(im \leq 8.2 \cdot 10^{+41}\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -4.8e+51) (not (<= im 8.2e+41)))
   (* -0.008333333333333333 (* re (pow im 5.0)))
   (* (- im) (sin re))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -4.8e+51) || !(im <= 8.2e+41)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = -im * sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-4.8d+51)) .or. (.not. (im <= 8.2d+41))) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im ** 5.0d0))
    else
        tmp = -im * sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -4.8e+51) || !(im <= 8.2e+41)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = -im * Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -4.8e+51) or not (im <= 8.2e+41):
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im, 5.0))
	else:
		tmp = -im * math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -4.8e+51) || !(im <= 8.2e+41))
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im ^ 5.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(-im) * sin(re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -4.8e+51) || ~((im <= 8.2e+41)))
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im ^ 5.0));
	else
		tmp = -im * sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -4.8e+51], N[Not[LessEqual[im, 8.2e+41]], $MachinePrecision]], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[((-im) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -4.7999999999999997e51 or 8.2000000000000007e41 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 97.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 97.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 97.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 97.3%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

      2. associate-*l* 97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      3. *-commutative 97.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   7. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 69.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)} \]

   if -4.7999999999999997e51 < im < 8.2000000000000007e41

   1. Initial program 38.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 87.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 87.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 87.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.8 \cdot 10^{+51} \lor \neg \left(im \leq 8.2 \cdot 10^{+41}\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \end{array} \]

Alternative 8: 56.4% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;-im \cdot re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.85 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot re\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -5.5e+53)
   (- (* im re))
   (if (<= im 1.85e+161) (* (- im) (sin re)) (* im re))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -5.5e+53) {
		tmp = -(im * re);
	} else if (im <= 1.85e+161) {
		tmp = -im * sin(re);
	} else {
		tmp = im * re;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= (-5.5d+53)) then
        tmp = -(im * re)
    else if (im <= 1.85d+161) then
        tmp = -im * sin(re)
    else
        tmp = im * re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -5.5e+53) {
		tmp = -(im * re);
	} else if (im <= 1.85e+161) {
		tmp = -im * Math.sin(re);
	} else {
		tmp = im * re;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= -5.5e+53:
		tmp = -(im * re)
	elif im <= 1.85e+161:
		tmp = -im * math.sin(re)
	else:
		tmp = im * re
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= -5.5e+53)
		tmp = Float64(-Float64(im * re));
	elseif (im <= 1.85e+161)
		tmp = Float64(Float64(-im) * sin(re));
	else
		tmp = Float64(im * re);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= -5.5e+53)
		tmp = -(im * re);
	elseif (im <= 1.85e+161)
		tmp = -im * sin(re);
	else
		tmp = im * re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, -5.5e+53], (-N[(im * re), $MachinePrecision]), If[LessEqual[im, 1.85e+161], N[((-im) * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im * re), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -5.49999999999999975e53

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 4.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 4.9%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 4.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0 19.5%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if -5.49999999999999975e53 < im < 1.8499999999999999e161

   1. Initial program 44.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 78.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 78.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 78.3%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 78.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 78.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 1.8499999999999999e161 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 5.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 5.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 11.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 11.2%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)\right)} - 1} \]

      3. +-commutative 11.2%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)} - 1 \]

      4. fma-def 11.2%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {re}^{3} \cdot im, -1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)} - 1 \]

      5. *-commutative 11.2%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{im \cdot {re}^{3}}, -1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)} - 1 \]

      6. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \cdot \sqrt{-1 \cdot \left(re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

      7. sqrt-unprod 35.0%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right)} - 1 \]

      8. mul-1-neg 35.0%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \cdot \left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)} - 1 \]

      9. mul-1-neg 35.0%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\left(-re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

      10. sqr-neg 35.0%

          \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

      11. sqrt-unprod 24.3%

          \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{re \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot im}}\right)\right)} - 1 \]

      12. add-sqr-sqrt 24.3%

          \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)} - 1 \]

   7. Applied egg-rr 24.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)\right)} - 1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 24.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. expm1-log1p 41.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)} \]

      3. fma-udef 41.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right) + re \cdot im} \]

      4. *-commutative 41.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot im\right)} + re \cdot im \]

      5. associate-*r* 41.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} + re \cdot im \]

      6. distribute-rgt-out 41.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} + re\right)} \]

      7. *-commutative 41.5%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{{re}^{3} \cdot 0.16666666666666666} + re\right) \]

   9. Simplified 41.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + re\right)} \]

   10. Taylor expanded in re around 0 32.2%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot im} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;-im \cdot re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.85 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\left(-im\right) \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot re\\ \end{array} \]

Alternative 9: 33.5% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -im \cdot re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (- (* im re)))

C

double code(double re, double im) {
	return -(im * re);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = -(im * re)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return -(im * re);
}

Python

def code(re, im):
	return -(im * re)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(-Float64(im * re))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = -(im * re);
end

Wolfram

code[re_, im_] := (-N[(im * re), $MachinePrecision])

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

5. Taylor expanded in re around 0 33.3%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

6. Final simplification 33.3%

   \[\leadsto -im \cdot re \]

Alternative 10: 19.7% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ im \cdot re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* im re))

C

double code(double re, double im) {
	return im * re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = im * re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return im * re;
}

Python

def code(re, im):
	return im * re

Julia

function code(re, im)
	return Float64(im * re)
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = im * re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(im * re), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

5. Taylor expanded in re around 0 31.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 29.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 16.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)\right)} - 1} \]

   3. +-commutative 16.8%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)}\right)} - 1 \]

   4. fma-def 16.8%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {re}^{3} \cdot im, -1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)} - 1 \]

   5. *-commutative 16.8%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{im \cdot {re}^{3}}, -1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)\right)} - 1 \]

   6. add-sqr-sqrt 11.5%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{-1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \cdot \sqrt{-1 \cdot \left(re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

   7. sqrt-unprod 23.4%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{\left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}}\right)\right)} - 1 \]

   8. mul-1-neg 23.4%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \cdot \left(-1 \cdot \left(re \cdot im\right)\right)}\right)\right)} - 1 \]

   9. mul-1-neg 23.4%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\left(-re \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

   10. sqr-neg 23.4%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \sqrt{\color{blue}{\left(re \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot im\right)}}\right)\right)} - 1 \]

   11. sqrt-unprod 18.6%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{\sqrt{re \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot im}}\right)\right)} - 1 \]

   12. add-sqr-sqrt 20.2%

       \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, \color{blue}{re \cdot im}\right)\right)} - 1 \]

7. Applied egg-rr 20.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)\right)} - 1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 19.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, im \cdot {re}^{3}, re \cdot im\right)} \]

   3. fma-udef 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right) + re \cdot im} \]

   4. *-commutative 24.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot im\right)} + re \cdot im \]

   5. associate-*r* 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} + re \cdot im \]

   6. distribute-rgt-out 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} + re\right)} \]

   7. *-commutative 24.8%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{{re}^{3} \cdot 0.16666666666666666} + re\right) \]

9. Simplified 24.8%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + re\right)} \]

10. Taylor expanded in re around 0 19.7%

    \[\leadsto \color{blue}{re \cdot im} \]

11. Final simplification 19.7%

    \[\leadsto im \cdot re \]

Alternative 11: 2.7% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -3 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 -3.0)

C

double code(double re, double im) {
	return -3.0;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = -3.0d0
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return -3.0;
}

Python

def code(re, im):
	return -3.0

Julia

function code(re, im)
	return -3.0
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = -3.0;
end

Wolfram

code[re_, im_] := -3.0

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Applied egg-rr 2.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-3} \]

7. Final simplification 2.8%

   \[\leadsto -3 \]

Alternative 12: 2.8% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.004629629629629629 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 -0.004629629629629629)

C

double code(double re, double im) {
	return -0.004629629629629629;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = -0.004629629629629629d0
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return -0.004629629629629629;
}

Python

def code(re, im):
	return -0.004629629629629629

Julia

function code(re, im)
	return -0.004629629629629629
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = -0.004629629629629629;
end

Wolfram

code[re_, im_] := -0.004629629629629629

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Applied egg-rr 2.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.004629629629629629} \]

7. Final simplification 2.8%

   \[\leadsto -0.004629629629629629 \]

Alternative 13: 2.8% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1.9380669946781487 \cdot 10^{-19} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 -1.9380669946781487e-19)

C

double code(double re, double im) {
	return -1.9380669946781487e-19;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = -1.9380669946781487d-19
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return -1.9380669946781487e-19;
}

Python

def code(re, im):
	return -1.9380669946781487e-19

Julia

function code(re, im)
	return -1.9380669946781487e-19
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = -1.9380669946781487e-19;
end

Wolfram

code[re_, im_] := -1.9380669946781487e-19

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-1.9380669946781487 \cdot 10^{-19}} \]

7. Final simplification 2.9%

   \[\leadsto -1.9380669946781487 \cdot 10^{-19} \]

Alternative 14: 14.9% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 0.0)

C

double code(double re, double im) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 0.0;
}

Python

def code(re, im):
	return 0.0

Julia

function code(re, im)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[re_, im_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 63.6%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.4%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Applied egg-rr 13.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

7. Final simplification 13.9%

   \[\leadsto 0 \]

Developer target: 99.7% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023279 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))