Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 14.8s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

• 49.0% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

Alternative 2: 80.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;1 + \left(-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 1e+26)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y 1.15e+77)
       (* (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0) (+ 1.0 (* (* x x) -0.5)))
       (if (<= y 1.4e+154)
         (+
          1.0
          (+
           -1.0
           (/
            (+ 1.0 (* (pow y 4.0) -0.027777777777777776))
            (+ 1.0 (* y (* y -0.16666666666666666))))))
         (* (cos x) t_0))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 1e+26) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.15e+77) {
		tmp = fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0) * (1.0 + ((x * x) * -0.5));
	} else if (y <= 1.4e+154) {
		tmp = 1.0 + (-1.0 + ((1.0 + (pow(y, 4.0) * -0.027777777777777776)) / (1.0 + (y * (y * -0.16666666666666666)))));
	} else {
		tmp = cos(x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 1e+26)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 1.15e+77)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5)));
	elseif (y <= 1.4e+154)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(-1.0 + Float64(Float64(1.0 + Float64((y ^ 4.0) * -0.027777777777777776)) / Float64(1.0 + Float64(y * Float64(y * -0.16666666666666666))))));
	else
		tmp = Float64(cos(x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 1e+26], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.15e+77], N[(N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.4e+154], N[(1.0 + N[(-1.0 + N[(N[(1.0 + N[(N[Power[y, 4.0], $MachinePrecision] * -0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(y * N[(y * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 1.00000000000000005e26

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 82.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 1.00000000000000005e26 < y < 1.14999999999999997e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. unpow2 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) + 1 \]

      3. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) + 1 \]

      4. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) + 1 \]

      5. associate-+l+ 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right)} \]

      6. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      7. +-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      8. unpow2 64.1%

         \[\leadsto \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      9. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      10. associate-*r* 64.1%

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      11. fma-udef 64.1%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      12. associate-*l* 64.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      13. fma-udef 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 64.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   7. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   if 1.14999999999999997e77 < y < 1.4e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 6.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.6%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 5.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 5.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)} \]

       2. expm1-udef 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} - 1} \]

       3. log1p-udef 5.5%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}} - 1 \]

       4. add-exp-log 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} - 1 \]

       5. flip-+ 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} - 1 \]

       6. div-inv 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} - 1 \]

       7. fma-neg 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right)} \]

       8. metadata-eval 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1} - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       9. swap-sqr 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       10. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - \color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       11. pow2 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2}} \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       12. pow2 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \left({y}^{2} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       13. pow-prod-up 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{y}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       14. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{\color{blue}{4}}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       15. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}}, -1\right) \]

       16. associate-*l* 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}}, -1\right) \]

       17. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}, \color{blue}{-1}\right) \]

   11. Applied egg-rr 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}, -1\right)} + 1 \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + -1} \]

       2. +-commutative 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{-1 + \left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       3. associate-*r/ 84.2%

          \[\leadsto -1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot 1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       4. *-rgt-identity 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{\color{blue}{1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       5. sub-neg 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right)}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       6. *-commutative 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + \left(-\color{blue}{{y}^{4} \cdot 0.027777777777777776}\right)}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + \color{blue}{{y}^{4} \cdot \left(-0.027777777777777776\right)}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       8. metadata-eval 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot \color{blue}{-0.027777777777777776}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       9. associate-*r* 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 - \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}} \]

       10. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 - \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} \]

       11. cancel-sign-sub-inv 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)}} \]

       12. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{-0.16666666666666666} \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

       13. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666}} \]

       14. associate-*l* 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}} \]

   13. Simplified 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)} + 1 \]

   if 1.4e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 96.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 96.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot {y}^{2}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {y}^{2} \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 83.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;1 + \left(-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 80.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 8.5e+25)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y 1.15e+77)
       (* (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0) (+ 1.0 (* (* x x) -0.5)))
       (if (<= y 1.5e+154)
         (+
          -1.0
          (/
           (+ 1.0 (* (pow y 4.0) -0.027777777777777776))
           (+ 1.0 (* y (* y -0.16666666666666666)))))
         (* (cos x) t_0))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.15e+77) {
		tmp = fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0) * (1.0 + ((x * x) * -0.5));
	} else if (y <= 1.5e+154) {
		tmp = -1.0 + ((1.0 + (pow(y, 4.0) * -0.027777777777777776)) / (1.0 + (y * (y * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = cos(x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 1.15e+77)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5)));
	elseif (y <= 1.5e+154)
		tmp = Float64(-1.0 + Float64(Float64(1.0 + Float64((y ^ 4.0) * -0.027777777777777776)) / Float64(1.0 + Float64(y * Float64(y * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(cos(x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 8.5e+25], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.15e+77], N[(N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.5e+154], N[(-1.0 + N[(N[(1.0 + N[(N[Power[y, 4.0], $MachinePrecision] * -0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(y * N[(y * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 82.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 1.14999999999999997e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. unpow2 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) + 1 \]

      3. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) + 1 \]

      4. associate-*r* 64.1%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) + 1 \]

      5. associate-+l+ 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right)} \]

      6. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      7. +-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      8. unpow2 64.1%

         \[\leadsto \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      9. *-commutative 64.1%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      10. associate-*r* 64.1%

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      11. fma-udef 64.1%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      12. associate-*l* 64.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      13. fma-udef 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 64.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   7. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   if 1.14999999999999997e77 < y < 1.50000000000000013e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 6.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.6%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 6.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 5.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)} \]

       2. expm1-udef 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} - 1} \]

       3. log1p-udef 5.5%

          \[\leadsto e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}} - 1 \]

       4. add-exp-log 5.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} - 1 \]

       5. flip-+ 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} - 1 \]

       6. div-inv 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} - 1 \]

       7. fma-neg 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 \cdot 1 - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right)} \]

       8. metadata-eval 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1} - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       9. swap-sqr 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       10. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - \color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       11. pow2 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2}} \cdot \left(y \cdot y\right)\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       12. pow2 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \left({y}^{2} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right), \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       13. pow-prod-up 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{y}^{\left(2 + 2\right)}}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       14. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{\color{blue}{4}}, \frac{1}{1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}, -1\right) \]

       15. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}}, -1\right) \]

       16. associate-*l* 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}}, -1\right) \]

       17. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}, \color{blue}{-1}\right) \]

   12. Applied egg-rr 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}, \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}, -1\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + -1} \]

       2. +-commutative 84.2%

          \[\leadsto \color{blue}{-1 + \left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       3. associate-*r/ 84.2%

          \[\leadsto -1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right) \cdot 1}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       4. *-rgt-identity 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{\color{blue}{1 - 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       5. sub-neg 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{\color{blue}{1 + \left(-0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}\right)}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       6. *-commutative 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + \left(-\color{blue}{{y}^{4} \cdot 0.027777777777777776}\right)}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       7. distribute-rgt-neg-in 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + \color{blue}{{y}^{4} \cdot \left(-0.027777777777777776\right)}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       8. metadata-eval 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot \color{blue}{-0.027777777777777776}}{1 - y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       9. associate-*r* 84.2%

          \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 - \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}} \]

       10. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 - \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}} \]

       11. cancel-sign-sub-inv 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{\color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)}} \]

       12. metadata-eval 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{-0.16666666666666666} \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

       13. *-commutative 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666}} \]

       14. associate-*l* 84.2%

           \[\leadsto -1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}} \]

   14. Simplified 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}} \]

   if 1.50000000000000013e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 96.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 96.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot {y}^{2}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {y}^{2} \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 83.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;-1 + \frac{1 + {y}^{4} \cdot -0.027777777777777776}{1 + y \cdot \left(y \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 77.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 9.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 9.5e+25)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y 1.4e+154)
       (* (fma y (* y 0.16666666666666666) 1.0) (+ 1.0 (* (* x x) -0.5)))
       (* (cos x) t_0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 9.5e+25) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.4e+154) {
		tmp = fma(y, (y * 0.16666666666666666), 1.0) * (1.0 + ((x * x) * -0.5));
	} else {
		tmp = cos(x) * t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 9.5e+25)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 1.4e+154)
		tmp = Float64(fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), 1.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(cos(x) * t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 9.5e+25], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.4e+154], N[(N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 9.5000000000000005e25

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 82.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 82.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 9.5000000000000005e25 < y < 1.4e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 5.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.8%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 32.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 32.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. unpow2 32.9%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) + 1 \]

      3. *-commutative 32.9%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666}\right) + 1 \]

      4. associate-*r* 32.9%

         \[\leadsto \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) + 1 \]

      5. associate-+l+ 32.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right)} \]

      6. *-commutative 32.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      7. +-commutative 32.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      8. unpow2 32.9%

         \[\leadsto \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      9. *-commutative 32.9%

         \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      10. associate-*r* 32.9%

          \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      11. fma-udef 32.9%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5 + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      12. associate-*l* 32.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1\right) \]

      13. fma-udef 32.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 32.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 32.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   7. Simplified 32.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.5 + 1\right)} \]

   if 1.4e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 96.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 96.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot {y}^{2}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {y}^{2} \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 9.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 77.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25} \lor \neg \left(y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}\right):\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y 8.5e+25) (not (<= y 1.35e+147)))
   (* (cos x) (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (* y (* y (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.08333333333333333))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 8.5e+25) || !(y <= 1.35e+147)) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
	} else {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= 8.5d+25) .or. (.not. (y <= 1.35d+147))) then
        tmp = cos(x) * (1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y)))
    else
        tmp = y * (y * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 8.5e+25) || !(y <= 1.35e+147)) {
		tmp = Math.cos(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
	} else {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= 8.5e+25) or not (y <= 1.35e+147):
		tmp = math.cos(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)))
	else:
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= 8.5e+25) || !(y <= 1.35e+147))
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= 8.5e+25) || ~((y <= 1.35e+147)))
		tmp = cos(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
	else
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, 8.5e+25], N[Not[LessEqual[y, 1.35e+147]], $MachinePrecision]], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(y * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25 or 1.34999999999999999e147 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 83.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 83.6%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 83.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 1.34999999999999999e147

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 33.8%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25} \lor \neg \left(y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}\right):\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 65.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 8.5e+25)
   (cos x)
   (if (<= y 1.35e+147)
     (* y (* y (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.08333333333333333))))
     (* y (* y (* (cos x) 0.16666666666666666))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = cos(x);
	} else if (y <= 1.35e+147) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = y * (y * (cos(x) * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 8.5d+25) then
        tmp = cos(x)
    else if (y <= 1.35d+147) then
        tmp = y * (y * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = y * (y * (cos(x) * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else if (y <= 1.35e+147) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = y * (y * (Math.cos(x) * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 8.5e+25:
		tmp = math.cos(x)
	elif y <= 1.35e+147:
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = y * (y * (math.cos(x) * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.35e+147)
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(cos(x) * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.35e+147)
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = y * (y * (cos(x) * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 8.5e+25], N[Cos[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+147], N[(y * N[(y * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(y * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 1.34999999999999999e147

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 33.8%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   if 1.34999999999999999e147 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 96.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 93.4%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 93.4%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 65.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 8.5e+25)
   (cos x)
   (if (<= y 1.35e+147)
     (* y (* y (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.08333333333333333))))
     (* (cos x) (* 0.16666666666666666 (* y y))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = cos(x);
	} else if (y <= 1.35e+147) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = cos(x) * (0.16666666666666666 * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 8.5d+25) then
        tmp = cos(x)
    else if (y <= 1.35d+147) then
        tmp = y * (y * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = cos(x) * (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else if (y <= 1.35e+147) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = Math.cos(x) * (0.16666666666666666 * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 8.5e+25:
		tmp = math.cos(x)
	elif y <= 1.35e+147:
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = math.cos(x) * (0.16666666666666666 * (y * y))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.35e+147)
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.35e+147)
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = cos(x) * (0.16666666666666666 * (y * y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 8.5e+25], N[Cos[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+147], N[(y * N[(y * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 1.34999999999999999e147

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 5.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 5.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 33.8%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 33.8%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   if 1.34999999999999999e147 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 96.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 93.4%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 93.4%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot {y}^{2}} \]

      2. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot {y}^{2} \]

      3. associate-*r* 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      4. unpow2 96.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   10. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 62.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+215} \lor \neg \left(y \leq 1.1 \cdot 10^{+268}\right):\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 8.5e+25)
   (cos x)
   (if (or (<= y 2e+215) (not (<= y 1.1e+268)))
     (* y (* y (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.08333333333333333))))
     (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = cos(x);
	} else if ((y <= 2e+215) || !(y <= 1.1e+268)) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 8.5d+25) then
        tmp = cos(x)
    else if ((y <= 2d+215) .or. (.not. (y <= 1.1d+268))) then
        tmp = y * (y * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 8.5e+25) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else if ((y <= 2e+215) || !(y <= 1.1e+268)) {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 8.5e+25:
		tmp = math.cos(x)
	elif (y <= 2e+215) or not (y <= 1.1e+268):
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif ((y <= 2e+215) || !(y <= 1.1e+268))
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 8.5e+25)
		tmp = cos(x);
	elseif ((y <= 2e+215) || ~((y <= 1.1e+268)))
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 8.5e+25], N[Cos[x], $MachinePrecision], If[Or[LessEqual[y, 2e+215], N[Not[LessEqual[y, 1.1e+268]], $MachinePrecision]], N[(y * N[(y * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 1.99999999999999981e215 or 1.09999999999999997e268 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 43.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 43.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 43.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 43.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 43.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 43.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 43.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 41.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 41.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 41.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 55.3%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 55.3%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 55.3%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 55.3%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   if 1.99999999999999981e215 < y < 1.09999999999999997e268

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 71.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 71.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 71.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25}:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+215} \lor \neg \left(y \leq 1.1 \cdot 10^{+268}\right):\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9: 48.6% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25} \lor \neg \left(y \leq 3 \cdot 10^{+216}\right) \land y \leq 1.3 \cdot 10^{+268}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y 8.5e+25) (and (not (<= y 3e+216)) (<= y 1.3e+268)))
   (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
   (* y (* y (+ 0.16666666666666666 (* (* x x) -0.08333333333333333))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 8.5e+25) || (!(y <= 3e+216) && (y <= 1.3e+268))) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= 8.5d+25) .or. (.not. (y <= 3d+216)) .and. (y <= 1.3d+268)) then
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    else
        tmp = y * (y * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 8.5e+25) || (!(y <= 3e+216) && (y <= 1.3e+268))) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= 8.5e+25) or (not (y <= 3e+216) and (y <= 1.3e+268)):
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	else:
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= 8.5e+25) || (!(y <= 3e+216) && (y <= 1.3e+268)))
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(y * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= 8.5e+25) || (~((y <= 3e+216)) && (y <= 1.3e+268)))
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	else
		tmp = y * (y * (0.16666666666666666 + ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, 8.5e+25], And[N[Not[LessEqual[y, 3e+216]], $MachinePrecision], LessEqual[y, 1.3e+268]]], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(y * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 8.5000000000000007e25 or 2.9999999999999998e216 < y < 1.29999999999999997e268

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 82.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 82.6%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 49.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 49.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 49.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 8.5000000000000007e25 < y < 2.9999999999999998e216 or 1.29999999999999997e268 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 43.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 43.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 43.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 43.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 43.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 43.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 43.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 41.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 41.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 41.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 55.3%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 55.3%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 55.3%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 55.3%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.5 \cdot 10^{+25} \lor \neg \left(y \leq 3 \cdot 10^{+216}\right) \land y \leq 1.3 \cdot 10^{+268}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 48.1% accurate, 13.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.7 \cdot 10^{+77} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right) \land x \leq 1.85 \cdot 10^{+283}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= x 2.7e+77) (and (not (<= x 4.8e+246)) (<= x 1.85e+283)))
   (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
   (* y (* x (* y (* x -0.08333333333333333))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 2.7e+77) || (!(x <= 4.8e+246) && (x <= 1.85e+283))) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = y * (x * (y * (x * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((x <= 2.7d+77) .or. (.not. (x <= 4.8d+246)) .and. (x <= 1.85d+283)) then
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    else
        tmp = y * (x * (y * (x * (-0.08333333333333333d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 2.7e+77) || (!(x <= 4.8e+246) && (x <= 1.85e+283))) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = y * (x * (y * (x * -0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (x <= 2.7e+77) or (not (x <= 4.8e+246) and (x <= 1.85e+283)):
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	else:
		tmp = y * (x * (y * (x * -0.08333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((x <= 2.7e+77) || (!(x <= 4.8e+246) && (x <= 1.85e+283)))
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(x * Float64(y * Float64(x * -0.08333333333333333))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= 2.7e+77) || (~((x <= 4.8e+246)) && (x <= 1.85e+283)))
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	else
		tmp = y * (x * (y * (x * -0.08333333333333333)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[x, 2.7e+77], And[N[Not[LessEqual[x, 4.8e+246]], $MachinePrecision], LessEqual[x, 1.85e+283]]], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(x * N[(y * N[(x * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.6999999999999998e77 or 4.8e246 < x < 1.85e283

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 75.4%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 50.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 50.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 50.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 50.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 50.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 50.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 50.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 50.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 50.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 50.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 50.8%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 50.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 2.6999999999999998e77 < x < 4.8e246 or 1.85e283 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 78.2%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 78.2%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 29.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 29.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 29.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 29.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 29.5%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 29.5%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 29.5%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 27.1%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 27.1%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 27.1%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 27.1%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf 27.1%

       \[\leadsto y \cdot \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow2 27.1%

          \[\leadsto y \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* 27.1%

          \[\leadsto y \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.08333333333333333 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       3. *-commutative 27.1%

          \[\leadsto y \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right)\right)} \]

       4. associate-*l* 27.4%

          \[\leadsto y \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right)\right)\right)} \]

       5. associate-*l* 27.4%

          \[\leadsto y \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot -0.08333333333333333\right) \cdot y\right)}\right) \]

       6. *-commutative 27.4%

          \[\leadsto y \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(x \cdot -0.08333333333333333\right)\right)}\right) \]

   13. Simplified 27.4%

       \[\leadsto y \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.7 \cdot 10^{+77} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right) \land x \leq 1.85 \cdot 10^{+283}:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 11: 48.0% accurate, 15.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.7 \cdot 10^{+77} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right):\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= x 2.7e+77) (not (<= x 4.8e+246)))
   (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
   (* x (* (* x y) (* y -0.08333333333333333)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 2.7e+77) || !(x <= 4.8e+246)) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = x * ((x * y) * (y * -0.08333333333333333));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((x <= 2.7d+77) .or. (.not. (x <= 4.8d+246))) then
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    else
        tmp = x * ((x * y) * (y * (-0.08333333333333333d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 2.7e+77) || !(x <= 4.8e+246)) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = x * ((x * y) * (y * -0.08333333333333333));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (x <= 2.7e+77) or not (x <= 4.8e+246):
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	else:
		tmp = x * ((x * y) * (y * -0.08333333333333333))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((x <= 2.7e+77) || !(x <= 4.8e+246))
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(x * Float64(Float64(x * y) * Float64(y * -0.08333333333333333)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= 2.7e+77) || ~((x <= 4.8e+246)))
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	else
		tmp = x * ((x * y) * (y * -0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[x, 2.7e+77], N[Not[LessEqual[x, 4.8e+246]], $MachinePrecision]], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x * N[(N[(x * y), $MachinePrecision] * N[(y * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.6999999999999998e77 or 4.8e246 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 75.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 50.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 50.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 50.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 50.3%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 50.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 50.3%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 50.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 50.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 50.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 50.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 2.6999999999999998e77 < x < 4.8e246

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 75.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.8%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 28.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 28.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      2. associate-*r* 28.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      3. *-commutative 28.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)} \]

      4. associate-*l* 28.7%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \cos x\right)\right)} \]

      5. *-commutative 28.7%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

   7. Simplified 28.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot \left(\cos x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 29.9%

      \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 29.9%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.08333333333333333}\right)\right) \]

      2. unpow2 29.9%

         \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 29.9%

       \[\leadsto y \cdot \left(y \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf 29.6%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({y}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow2 29.6%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot {x}^{2}\right) \]

       2. unpow2 29.6%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

       3. associate-*r* 29.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

       4. *-commutative 29.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

       5. associate-*r* 29.6%

          \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.08333333333333333 \cdot y\right) \cdot y\right)} \]

       6. *-commutative 29.6%

          \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right)\right)} \]

       7. associate-*l* 29.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot y\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right)} \]

       8. associate-*l* 30.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right) \]

       9. *-commutative 30.2%

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot x\right)}\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right) \]

       10. associate-*l* 30.2%

           \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(y \cdot x\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot y\right)\right)} \]

       11. *-commutative 30.2%

           \[\leadsto x \cdot \left(\left(y \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot -0.08333333333333333\right)}\right) \]

   13. Simplified 30.2%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(y \cdot x\right) \cdot \left(y \cdot -0.08333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.7 \cdot 10^{+77} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right):\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 12: 47.6% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.8 \cdot 10^{+163} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right):\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= x 8.8e+163) (not (<= x 4.8e+246)))
   (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
   (+ 1.0 (* (* x x) -0.5))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 8.8e+163) || !(x <= 4.8e+246)) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((x <= 8.8d+163) .or. (.not. (x <= 4.8d+246))) then
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((x * x) * (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((x <= 8.8e+163) || !(x <= 4.8e+246)) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (x <= 8.8e+163) or not (x <= 4.8e+246):
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	else:
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5)
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((x <= 8.8e+163) || !(x <= 4.8e+246))
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= 8.8e+163) || ~((x <= 4.8e+246)))
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	else
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[x, 8.8e+163], N[Not[LessEqual[x, 4.8e+246]], $MachinePrecision]], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 8.79999999999999945e163 or 4.8e246 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 75.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 49.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 49.0%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 49.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 49.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 49.0%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right) + 1} \]

      2. associate-*r* 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      3. unpow2 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{y}^{2}} \cdot 0.16666666666666666 + 1 \]

      4. *-commutative 49.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} + 1 \]

      5. unpow2 49.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Applied egg-rr 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 8.79999999999999945e163 < x < 4.8e246

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 43.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\cos x} - 1}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 43.8%

         \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   6. Simplified 43.8%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.5 \cdot {x}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 35.8%

         \[\leadsto 1 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   9. Simplified 35.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.8 \cdot 10^{+163} \lor \neg \left(x \leq 4.8 \cdot 10^{+246}\right):\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\\ \end{array} \]

Alternative 13: 39.1% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.65 \cdot 10^{+120}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 1.15e+26)
   1.0
   (if (<= y 1.65e+120)
     (+ 1.0 (* (* x x) -0.5))
     (* 0.16666666666666666 (* y y)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 1.15e+26) {
		tmp = 1.0;
	} else if (y <= 1.65e+120) {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 1.15d+26) then
        tmp = 1.0d0
    else if (y <= 1.65d+120) then
        tmp = 1.0d0 + ((x * x) * (-0.5d0))
    else
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (y * y)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 1.15e+26) {
		tmp = 1.0;
	} else if (y <= 1.65e+120) {
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 1.15e+26:
		tmp = 1.0
	elif y <= 1.65e+120:
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5)
	else:
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y)
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 1.15e+26)
		tmp = 1.0;
	elseif (y <= 1.65e+120)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5));
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 1.15e+26)
		tmp = 1.0;
	elseif (y <= 1.65e+120)
		tmp = 1.0 + ((x * x) * -0.5);
	else
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 1.15e+26], 1.0, If[LessEqual[y, 1.65e+120], N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 1.15e26

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   3. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 64.1%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\cos x} - 1}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 64.3%

         \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   6. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0 37.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.15e26 < y < 1.64999999999999995e120

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   3. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 3.1%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\cos x} - 1}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   6. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0 33.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.5 \cdot {x}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 33.2%

         \[\leadsto 1 + -0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   9. Simplified 33.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   if 1.64999999999999995e120 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 77.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 77.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 77.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 59.2%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 59.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 59.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 56.8%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 56.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 59.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 59.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 39.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 1.15 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.65 \cdot 10^{+120}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \]

Alternative 14: 38.2% accurate, 29.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 13:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 13.0) 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 13.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 13.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (y * y)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 13.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 13.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y)
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 13.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 13.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 13.0], 1.0, N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 13

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. log1p-expm1-u 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   3. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 64.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\cos x} - 1}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 64.9%

         \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   6. Simplified 64.9%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in x around 0 37.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 13 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 49.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 49.3%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 49.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 37.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 37.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 37.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. *-commutative 37.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666} + 1 \]

      4. associate-*r* 35.9%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 35.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   7. Simplified 35.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 37.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 37.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 37.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 13:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \]

Alternative 15: 29.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x, y):
	return 1.0

Julia

function code(x, y)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_, y_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Step-by-step derivation

   1. log1p-expm1-u 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y}\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in y around 0 51.7%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\cos x} - 1}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 51.9%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

6. Simplified 51.9%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\cos x\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in x around 0 30.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

8. Final simplification 30.2%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023279 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (cos x) (/ (sinh y) y)))