Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 77.0% → 99.5%

Time: 25.4s

Alternatives: 16

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 77.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{\frac{0.375}{\frac{t_0}{\sin x}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (/ t_0 (/ 0.375 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 / (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = t_0 / (0.375d0 / (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 / (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return t_0 / (0.375 / (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(0.375 / Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = t_0 / (0.375 / (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(0.375 / N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. un-div-inv 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l/ 72.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. sqr-sin-a 49.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 14.4%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   6. sqrt-unprod 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. swap-sqr 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   9. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. swap-sqr 29.8%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   11. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   12. add-sqr-sqrt 49.5%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   13. sqr-sin-a 72.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375 \cdot \sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}} \]

8. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}} \]

9. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{0.375}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8} \lor \neg \left(x \leq 10^{-36}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{-0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (if (or (<= x -2e-8) (not (<= x 1e-36)))
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (/ t_0 -0.75))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -2e-8) || !(x <= 1e-36)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    if ((x <= (-2d-8)) .or. (.not. (x <= 1d-36))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = t_0 / (-0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -2e-8) || !(x <= 1e-36)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -2e-8) or not (x <= 1e-36):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = t_0 / -0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2e-8) || !(x <= 1e-36))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / -0.75);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2e-8) || ~((x <= 1e-36)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = t_0 / -0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -2e-8], N[Not[LessEqual[x, 1e-36]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / -0.75), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2e-8 or 9.9999999999999994e-37 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665\right)}}{\sin x} \]

      4. associate-*r* 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -2e-8 < x < 9.9999999999999994e-37

   1. Initial program 47.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 47.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 47.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8} \lor \neg \left(x \leq 10^{-36}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{t_1}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -2e-8)
     (* 2.6666666666666665 (/ t_1 (sin x)))
     (if (<= x 5e-37) (/ t_0 -0.75) (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	} else if (x <= 5e-37) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-2d-8)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (t_1 / sin(x))
    else if (x <= 5d-37) then
        tmp = t_0 / (-0.75d0)
    else
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / Math.sin(x));
	} else if (x <= 5e-37) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -2e-8:
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / math.sin(x))
	elif x <= 5e-37:
		tmp = t_0 / -0.75
	else:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-8)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_1 / sin(x)));
	elseif (x <= 5e-37)
		tmp = Float64(t_0 / -0.75);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2e-8)
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	elseif (x <= 5e-37)
		tmp = t_0 / -0.75;
	else
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2e-8], N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$1 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-37], N[(t$95$0 / -0.75), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2e-8

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665\right)}}{\sin x} \]

      4. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -2e-8 < x < 4.9999999999999997e-37

   1. Initial program 47.3%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 47.3%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 2.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 47.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

   if 4.9999999999999997e-37 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

      5. associate-*r* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{t_1}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -2e-8)
     (/ (/ t_1 (sin x)) 0.375)
     (if (<= x 5e-37) (/ t_0 -0.75) (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = (t_1 / sin(x)) / 0.375;
	} else if (x <= 5e-37) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-2d-8)) then
        tmp = (t_1 / sin(x)) / 0.375d0
    else if (x <= 5d-37) then
        tmp = t_0 / (-0.75d0)
    else
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = (t_1 / Math.sin(x)) / 0.375;
	} else if (x <= 5e-37) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -2e-8:
		tmp = (t_1 / math.sin(x)) / 0.375
	elif x <= 5e-37:
		tmp = t_0 / -0.75
	else:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-8)
		tmp = Float64(Float64(t_1 / sin(x)) / 0.375);
	elseif (x <= 5e-37)
		tmp = Float64(t_0 / -0.75);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2e-8)
		tmp = (t_1 / sin(x)) / 0.375;
	elseif (x <= 5e-37)
		tmp = t_0 / -0.75;
	else
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2e-8], N[(N[(t$95$1 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-37], N[(t$95$0 / -0.75), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2e-8

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \cdot \sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}\right)} \]

      4. pow2 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}\right)}^{2}} \]

      5. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-div 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x}}\right)}}^{2} \]

      7. sqrt-unprod 26.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2} \]

      8. add-sqr-sqrt 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2} \]

   5. Applied egg-rr 59.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)} \]

      2. div-inv 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\sin x}}\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right) \]

      3. associate-*l* 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)\right)} \]

      4. times-frac 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\sin x}}}\right) \]

      5. *-un-lft-identity 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\sin x}}\right) \]

      6. add-sqr-sqrt 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\sin x}}\right) \]

      7. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}\right) \]

      8. div-inv 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      9. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \cdot 2.6666666666666665} \]

      10. associate-/r/ 99.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

      11. div-inv 99.3%

          \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      12. associate-/r* 99.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}{\frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}} \]

   if -2e-8 < x < 4.9999999999999997e-37

   1. Initial program 47.3%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 47.3%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 2.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 47.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

   if 4.9999999999999997e-37 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      3. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right) \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

      5. associate-*r* 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{t_0}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{-36}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (if (<= x -2e-8)
     (/ (/ (pow t_0 2.0) (sin x)) 0.375)
     (if (<= x 1e-36)
       (/ t_0 -0.75)
       (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (* 0.375 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = (pow(t_0, 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	} else if (x <= 1e-36) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / (0.375 * sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    if (x <= (-2d-8)) then
        tmp = ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x)) / 0.375d0
    else if (x <= 1d-36) then
        tmp = t_0 / (-0.75d0)
    else
        tmp = (sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) / (0.375d0 * sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if (x <= -2e-8) {
		tmp = (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x)) / 0.375;
	} else if (x <= 1e-36) {
		tmp = t_0 / -0.75;
	} else {
		tmp = Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) / (0.375 * Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	tmp = 0
	if x <= -2e-8:
		tmp = (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x)) / 0.375
	elif x <= 1e-36:
		tmp = t_0 / -0.75
	else:
		tmp = math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) / (0.375 * math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-8)
		tmp = Float64(Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375);
	elseif (x <= 1e-36)
		tmp = Float64(t_0 / -0.75);
	else
		tmp = Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / Float64(0.375 * sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2e-8)
		tmp = ((t_0 ^ 2.0) / sin(x)) / 0.375;
	elseif (x <= 1e-36)
		tmp = t_0 / -0.75;
	else
		tmp = (sin((x * 0.5)) ^ 2.0) / (0.375 * sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2e-8], N[(N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 0.375), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e-36], N[(t$95$0 / -0.75), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2e-8

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \cdot \sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}\right)} \]

      4. pow2 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}\right)}^{2}} \]

      5. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}\right)}^{2} \]

      6. sqrt-div 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x}}\right)}}^{2} \]

      7. sqrt-unprod 26.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \sqrt{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2} \]

      8. add-sqr-sqrt 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot {\left(\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2} \]

   5. Applied egg-rr 59.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)} \]

      2. div-inv 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\sin x}}\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right) \]

      3. associate-*l* 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x}}\right)\right)} \]

      4. times-frac 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\sin x}}}\right) \]

      5. *-un-lft-identity 59.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\sin x}}\right) \]

      6. add-sqr-sqrt 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\sin x}}\right) \]

      7. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}\right) \]

      8. div-inv 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      9. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \cdot 2.6666666666666665} \]

      10. associate-/r/ 99.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

      11. div-inv 99.3%

          \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      12. associate-/r* 99.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}}{\frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}} \]

   if -2e-8 < x < 9.9999999999999994e-37

   1. Initial program 47.7%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 47.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 47.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

   if 9.9999999999999994e-37 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      4. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{0.375}}}} \]

      6. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{1}}} \]

      7. /-rgt-identity 99.3%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   6. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}}{0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{-36}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 72.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 / (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 8: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{\sin x} \cdot \frac{t_0}{0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (* (/ t_0 (sin x)) (/ t_0 0.375))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return (t_0 / Math.sin(x)) * (t_0 / 0.375);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return (t_0 / math.sin(x)) * (t_0 / 0.375)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(Float64(t_0 / sin(x)) * Float64(t_0 / 0.375))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = (t_0 / sin(x)) * (t_0 / 0.375);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 / 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. un-div-inv 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l/ 72.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. sqr-sin-a 49.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 14.4%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   6. sqrt-unprod 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. swap-sqr 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   9. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. swap-sqr 29.8%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   11. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   12. add-sqr-sqrt 49.5%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   13. sqr-sin-a 72.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 99.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}} \]

   2. div-inv 99.6%

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   3. times-frac 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   4. clear-num 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{1}{2.6666666666666665}} \]

   5. metadata-eval 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375}} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375}} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375} \]

Alternative 9: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{\sin x \cdot \frac{0.375}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (/ t_0 (* (sin x) (/ 0.375 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return t_0 / (sin(x) * (0.375 / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = t_0 / (sin(x) * (0.375d0 / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return t_0 / (Math.sin(x) * (0.375 / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return t_0 / (math.sin(x) * (0.375 / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(sin(x) * Float64(0.375 / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = t_0 / (sin(x) * (0.375 / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.375 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. un-div-inv 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l/ 72.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. sqr-sin-a 49.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 14.4%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   6. sqrt-unprod 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. swap-sqr 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   9. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. swap-sqr 29.8%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   11. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   12. add-sqr-sqrt 49.5%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   13. sqr-sin-a 72.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Taylor expanded in x around inf 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375 \cdot \sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l* 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}} \]

8. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \sin x}} \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)} \cdot \sin x}} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x \cdot \frac{0.375}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 10: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125 \lor \neg \left(x \leq 0.000125\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.000125) (not (<= x 0.000125)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (+ 0.5 (* -0.5 (cos x))) (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) -0.75)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * cos(x))) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.000125d0)) .or. (.not. (x <= 0.000125d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos(x))) / sin(x))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.000125) or not (x <= 0.000125):
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / -0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.000125) || ~((x <= 0.000125)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * cos(x))) / sin(x));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.000125], N[Not[LessEqual[x, 0.000125]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.25e-4 or 1.25e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      5. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{0.375}}}} \]

      6. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{1}}} \]

      7. /-rgt-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   6. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. sqr-sin-a 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. add-sqr-sqrt 31.3%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. sqrt-unprod 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. swap-sqr 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. metadata-eval 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. metadata-eval 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. swap-sqr 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. sqrt-unprod 27.2%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      10. add-sqr-sqrt 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      11. sqr-sin-a 99.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      12. sin-mult 98.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. count-2 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. neg-mul-1 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(-x\right)}{\sin x}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{0.5 \cdot \cos \left(-x\right)}{\sin x}\right)} \]

       2. *-commutative 98.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{\color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot 0.5}}{\sin x}\right) \]

       3. cos-neg 98.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{\color{blue}{\cos x} \cdot 0.5}{\sin x}\right) \]

       4. div-sub 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - \cos x \cdot 0.5}{\sin x}} \]

       5. *-lft-identity 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

       6. *-lft-identity 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \cos x \cdot 0.5}}{\sin x} \]

       7. cos-neg 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \color{blue}{\cos \left(-x\right)} \cdot 0.5}{\sin x} \]

       8. cancel-sign-sub-inv 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 + \left(-\cos \left(-x\right)\right) \cdot 0.5}}{\sin x} \]

       9. distribute-lft-neg-in 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\left(-\cos \left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 98.5%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot \left(-0.5\right)}}{\sin x} \]

       11. cos-neg 98.5%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\cos x} \cdot \left(-0.5\right)}{\sin x} \]

       12. metadata-eval 98.5%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \cos x \cdot \color{blue}{-0.5}}{\sin x} \]

   13. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \cos x \cdot -0.5}{\sin x}} \]

   if -1.25e-4 < x < 1.25e-4

   1. Initial program 49.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 49.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 49.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125 \lor \neg \left(x \leq 0.000125\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125 \lor \neg \left(x \leq 0.000125\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{0.375 \cdot \sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.000125) (not (<= x 0.000125)))
   (/ (+ 0.5 (* -0.5 (cos x))) (* 0.375 (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) -0.75)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125)) {
		tmp = (0.5 + (-0.5 * cos(x))) / (0.375 * sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.000125d0)) .or. (.not. (x <= 0.000125d0))) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos(x))) / (0.375d0 * sin(x))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125)) {
		tmp = (0.5 + (-0.5 * Math.cos(x))) / (0.375 * Math.sin(x));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.000125) or not (x <= 0.000125):
		tmp = (0.5 + (-0.5 * math.cos(x))) / (0.375 * math.sin(x))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / -0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.000125) || !(x <= 0.000125))
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(x))) / Float64(0.375 * sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.000125) || ~((x <= 0.000125)))
		tmp = (0.5 + (-0.5 * cos(x))) / (0.375 * sin(x));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.000125], N[Not[LessEqual[x, 0.000125]], $MachinePrecision]], N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.25e-4 or 1.25e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      5. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{0.375}}}} \]

      6. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{1}}} \]

      7. /-rgt-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   6. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. sqr-sin-a 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. add-sqr-sqrt 31.3%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. sqrt-unprod 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. swap-sqr 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. metadata-eval 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. metadata-eval 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. swap-sqr 56.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. sqrt-unprod 27.2%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      10. add-sqr-sqrt 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      11. sqr-sin-a 99.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      12. sin-mult 98.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. count-2 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. neg-mul-1 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(-x\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sub-neg 98.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 + \left(-0.5 \cdot \cos \left(-x\right)\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

       2. *-commutative 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 + \left(-\color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot 0.5}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

       3. distribute-rgt-neg-in 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 + \color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot \left(-0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

       4. cos-neg 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 + \color{blue}{\cos x} \cdot \left(-0.5\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

       5. metadata-eval 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 + \cos x \cdot \color{blue}{-0.5}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   13. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 + \cos x \cdot -0.5}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   if -1.25e-4 < x < 1.25e-4

   1. Initial program 49.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 49.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 49.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125 \lor \neg \left(x \leq 0.000125\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{0.375 \cdot \sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.000125:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.000125)
   (* 2.6666666666666665 (/ (+ 0.5 (* -0.5 (cos x))) (sin x)))
   (if (<= x 0.000125)
     (/ (sin (* x -0.5)) -0.75)
     (* (/ 2.6666666666666665 (sin x)) (- 0.5 (* 0.5 (cos x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.000125) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * cos(x))) / sin(x));
	} else if (x <= 0.000125) {
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (0.5 * cos(x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.000125d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 + ((-0.5d0) * cos(x))) / sin(x))
    else if (x <= 0.000125d0) then
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
    else
        tmp = (2.6666666666666665d0 / sin(x)) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos(x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.000125) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	} else if (x <= 0.000125) {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 / Math.sin(x)) * (0.5 - (0.5 * Math.cos(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -0.000125:
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	elif x <= 0.000125:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / -0.75
	else:
		tmp = (2.6666666666666665 / math.sin(x)) * (0.5 - (0.5 * math.cos(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.000125)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	elseif (x <= 0.000125)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75);
	else
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 / sin(x)) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.000125)
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 + (-0.5 * cos(x))) / sin(x));
	elseif (x <= 0.000125)
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	else
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (0.5 * cos(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -0.000125], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.000125], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision], N[(N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.25e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      5. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{0.375}}}} \]

      6. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{1}}} \]

      7. /-rgt-identity 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. sqr-sin-a 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. sqrt-unprod 42.1%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. swap-sqr 42.1%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. metadata-eval 42.1%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. metadata-eval 42.1%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. swap-sqr 42.1%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. sqrt-unprod 60.5%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      10. add-sqr-sqrt 98.7%

          \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      11. sqr-sin-a 99.1%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      12. sin-mult 98.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   8. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. +-inverses 98.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. cos-0 98.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. count-2 98.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. *-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. associate-*r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. neg-mul-1 98.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   10. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(-x\right)}{\sin x}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{0.5 \cdot \cos \left(-x\right)}{\sin x}\right)} \]

       2. *-commutative 98.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{\color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot 0.5}}{\sin x}\right) \]

       3. cos-neg 98.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\frac{0.5}{\sin x} - \frac{\color{blue}{\cos x} \cdot 0.5}{\sin x}\right) \]

       4. div-sub 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - \cos x \cdot 0.5}{\sin x}} \]

       5. *-lft-identity 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

       6. *-lft-identity 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 - \cos x \cdot 0.5}}{\sin x} \]

       7. cos-neg 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - \color{blue}{\cos \left(-x\right)} \cdot 0.5}{\sin x} \]

       8. cancel-sign-sub-inv 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{0.5 + \left(-\cos \left(-x\right)\right) \cdot 0.5}}{\sin x} \]

       9. distribute-lft-neg-in 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\left(-\cos \left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

       10. distribute-rgt-neg-in 98.7%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot \left(-0.5\right)}}{\sin x} \]

       11. cos-neg 98.7%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \color{blue}{\cos x} \cdot \left(-0.5\right)}{\sin x} \]

       12. metadata-eval 98.7%

           \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \cos x \cdot \color{blue}{-0.5}}{\sin x} \]

   13. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + \cos x \cdot -0.5}{\sin x}} \]

   if -1.25e-4 < x < 1.25e-4

   1. Initial program 49.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      2. un-div-inv 99.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. associate-/l/ 49.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. sqr-sin-a 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      5. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      6. sqrt-unprod 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. swap-sqr 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      9. metadata-eval 6.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. swap-sqr 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      11. sqrt-unprod 3.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      12. add-sqr-sqrt 6.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      13. sqr-sin-a 49.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

   if 1.25e-4 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2} \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}}} \]

      4. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\frac{\sin x}{2.6666666666666665}} \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{0.375}}}} \]

      6. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{1}}} \]

      7. /-rgt-identity 99.2%

         \[\leadsto \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   6. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. sqr-sin-a 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. add-sqr-sqrt 56.9%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. sqrt-unprod 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. swap-sqr 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. metadata-eval 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. metadata-eval 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. swap-sqr 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. sqrt-unprod 0.0%

         \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      10. add-sqr-sqrt 98.6%

          \[\leadsto \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}\right)}{\sin x \cdot 0.375} \]

      11. sqr-sin-a 99.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      12. sin-mult 98.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   8. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      5. count-2 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      6. *-commutative 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot x\right)}\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      7. associate-*r* 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot -0.5\right) \cdot x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      8. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \left(\color{blue}{-1} \cdot x\right)}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

      9. neg-mul-1 98.6%

         \[\leadsto \frac{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-inv 98.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos \left(-x\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375}} \]

       2. div-inv 98.5%

          \[\leadsto \left(0.5 - \color{blue}{\cos \left(-x\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

       3. cos-neg 98.5%

          \[\leadsto \left(0.5 - \color{blue}{\cos x} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

       4. metadata-eval 98.5%

          \[\leadsto \left(0.5 - \cos x \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot 0.375} \]

       5. *-commutative 98.5%

          \[\leadsto \left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.375 \cdot \sin x}} \]

       6. associate-/r* 98.4%

          \[\leadsto \left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{0.375}}{\sin x}} \]

       7. metadata-eval 98.4%

          \[\leadsto \left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\color{blue}{2.6666666666666665}}{\sin x} \]

   12. Applied egg-rr 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \cos x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.000125:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 + -0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.000125:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 13: 55.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 58.8%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{1.3333333333333333} \]

5. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]

Alternative 14: 55.2% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x -0.5)) -0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * -0.5)) / -0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   2. un-div-inv 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. associate-/l/ 72.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. sqr-sin-a 49.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   5. add-sqr-sqrt 14.4%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   6. sqrt-unprod 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. swap-sqr 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   9. metadata-eval 29.8%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. swap-sqr 29.8%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   11. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   12. add-sqr-sqrt 49.5%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   13. sqr-sin-a 72.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 59.2%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

7. Final simplification 59.2%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \]

Alternative 15: 51.2% accurate, 28.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 1.3333333333333333}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x 1.3333333333333333) (+ 2.0 (* (* x x) -0.25))))

C

double code(double x) {
	return (x * 1.3333333333333333) / (2.0 + ((x * x) * -0.25));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 1.3333333333333333d0) / (2.0d0 + ((x * x) * (-0.25d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 1.3333333333333333) / (2.0 + ((x * x) * -0.25));
}

Python

def code(x):
	return (x * 1.3333333333333333) / (2.0 + ((x * x) * -0.25))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 1.3333333333333333) / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.25)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 1.3333333333333333) / (2.0 + ((x * x) * -0.25));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 1.3333333333333333), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.5%

   \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{2 + -0.25 \cdot {x}^{2}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 54.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot -0.25}} \]

   2. unpow2 54.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot -0.25} \]

6. Simplified 54.5%

   \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 54.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.3333333333333333 \cdot x}}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 54.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 1.3333333333333333}}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25} \]

9. Simplified 54.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot 1.3333333333333333}}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25} \]

10. Final simplification 54.7%

    \[\leadsto \frac{x \cdot 1.3333333333333333}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.25} \]

Alternative 16: 50.9% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 72.6%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 54.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

5. Final simplification 54.2%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023279 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))