UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 37.4s

Alternatives: 17

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, t_1 \cdot xi, \mathsf{fma}\left(t_1 \cdot \sin t_0, yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* (* ux maxCos) (* ux (+ ux -1.0)))))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* t_1 xi)
    (fma (* t_1 (sin t_0)) yi (* ux (* (* (- 1.0 ux) maxCos) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * ((ux * maxCos) * (ux * (ux + -1.0f)))))));
	return fmaf(cosf(t_0), (t_1 * xi), fmaf((t_1 * sinf(t_0)), yi, (ux * (((1.0f - ux) * maxCos) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))
	return fma(cos(t_0), Float32(t_1 * xi), fma(Float32(t_1 * sin(t_0)), yi, Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_1 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* t_0 (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_2 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (t_0 * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(t_0 * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_2 \cdot t_1\right) + yi \cdot \left(t_1 \cdot \sin t_2\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* PI (* uy 2.0))))
   (+ (+ (* xi (* (cos t_2) t_1)) (* yi (* t_1 (sin t_2)))) (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sinf(t_2)))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_2) * t_1)) + Float32(yi * Float32(t_1 * sin(t_2)))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_2) * t_1)) + (yi * (t_1 * sin(t_2)))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) + yi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 4: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) (- (* ux maxCos) maxCos)))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) - maxCos))))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) - maxCos))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + yi \cdot \sin t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (+
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
     (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 95.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + yi \cdot \sin t_0\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
     (* yi (sin t_0)))
    (* (* ux maxCos) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (yi * sinf(t_0))) + ((ux * maxCos) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(yi * sin(t_0))) + Float32(Float32(ux * maxCos) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (yi * sin(t_0))) + ((ux * maxCos) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in ux around 0 96.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 96.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

10. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)} \cdot zi \]

11. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi \]

Alternative 7: 90.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* 2.0 (* PI (* uy yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (single(2.0) * (single(pi) * (uy * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 8: 90.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* (* uy 2.0) (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + ((uy * single(2.0)) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 9: 90.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* (* uy PI) (* 2.0 yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + ((uy * ((float) M_PI)) * (2.0f * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * Float32(Float32(2.0) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + ((uy * single(pi)) * (single(2.0) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. add-exp-log 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(e^{\log \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. expm1-log1p-u 98.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(e^{\log \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. add-exp-log 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. associate-*r* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. *-commutative 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot uy\right)} \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   8. associate-*l* 98.9%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)}\right)\right)\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Taylor expanded in uy around 0 93.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    2. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    3. associate-*r* 93.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot yi\right)} \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    4. associate-*l* 93.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(yi \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    5. *-commutative 93.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Simplified 93.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot yi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

13. Final simplification 93.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 10: 81.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) - zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (-
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* 2.0 (* PI (* uy yi))))
  (* zi (* maxCos (* ux ux)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi)))) - (zi * (maxCos * (ux * ux)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi)))) - Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (single(2.0) * (single(pi) * (uy * yi)))) - (zi * (maxCos * (ux * ux)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in uy around 0 93.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 93.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 93.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in ux around inf 85.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot zi \]

   2. neg-mul-1 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(-maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}\right) \cdot zi \]

   3. unpow2 85.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

10. Simplified 85.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0 85.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow2 85.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

    2. unpow2 85.8%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

13. Simplified 85.8%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 85.8%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) - zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \]

Alternative 11: 59.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* ux (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)))))
  (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (ux * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))))), (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in maxCos around -inf 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot ux + 1\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

9. Final simplification 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 12: 59.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* ux (* zi (- maxCos (* ux maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (ux * (zi * (maxCos - (ux * maxCos)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(ux * Float32(zi * Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

Alternative 13: 59.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* ux (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (ux * ((1.0f - ux) * (maxCos * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in zi around 0 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(\left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right) \cdot zi\right)\right) \]

    2. cancel-sign-sub-inv 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(\color{blue}{\left(maxCos + \left(-ux\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi\right)\right) \]

    3. distribute-rgt1-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\left(-ux\right) + 1\right) \cdot maxCos\right)} \cdot zi\right)\right) \]

    4. +-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]

    5. sub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]

    6. associate-*r* 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

13. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

14. Final simplification 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 14: 59.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* (* ux zi) (- maxCos (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), ((ux * zi) * (maxCos - (ux * maxCos))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(Float32(ux * zi) * Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in zi around 0 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

12. Final simplification 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 15: 59.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in maxCos around -inf 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot ux + 1\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

12. Final simplification 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 16: 57.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0 65.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

12. Final simplification 65.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 17: 57.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* ux (* maxCos zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (ux * (maxCos * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(ux * Float32(maxCos * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 67.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 67.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 67.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 67.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.5%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in ux around 0 65.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 65.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot maxCos}\right) \]

    2. associate-*l* 65.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot maxCos\right)}\right) \]

13. Simplified 65.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot maxCos\right)}\right) \]

14. Final simplification 65.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023279 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))