ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.6% → 99.4%

Time: 24.2s

Alternatives: 4

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. unpow2 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.6%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

10. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. unpow2 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x \cdot 0.16666666666666666}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (/ (* x 0.16666666666666666) (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * ((x * 0.16666666666666666) / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * ((x * 0.16666666666666666d0) / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * ((x * 0.16666666666666666) / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * ((x * 0.16666666666666666) / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * 0.16666666666666666) / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * ((x * 0.16666666666666666) / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 85.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 66.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}}{\tan x} \]

   2. sqrt-unprod 59.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}}}{\tan x} \]

   3. *-commutative 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}}{\tan x} \]

   4. *-commutative 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)}}}{\tan x} \]

   5. swap-sqr 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}}{\tan x} \]

   6. pow-prod-up 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\tan x} \]

   7. metadata-eval 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\tan x} \]

   8. metadata-eval 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}}{\tan x} \]

4. Applied egg-rr 59.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}}}{\tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 59.5%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{6}}}}{\tan x} \]

   2. sqrt-prod 59.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776} \cdot \sqrt{{x}^{6}}}}{\tan x} \]

   3. metadata-eval 59.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{{x}^{6}}}{\tan x} \]

   4. sqrt-pow1 85.0%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}}{\tan x} \]

   5. metadata-eval 85.0%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{\color{blue}{3}}}{\tan x} \]

   6. cube-mult 84.9%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{\tan x} \]

   7. associate-*r* 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}{\tan x} \]

6. Applied egg-rr 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}{\tan x} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}}} \]

   2. associate-/r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot x}{\tan x} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot x}{\tan x} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

9. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x \cdot 0.16666666666666666}{\tan x} \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023279 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))