bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.1% → 97.3%

Time: 24.7s

Alternatives: 3

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 4.323687496436164e+40

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (expm1
  (log1p
   (log1p
    (fma
     0.0001984126984126984
     (pow x 6.0)
     (fma
      (pow x 4.0)
      0.008333333333333333
      (* x (* x 0.16666666666666666))))))))

C

double code(double x) {
	return expm1(log1p(log1p(fma(0.0001984126984126984, pow(x, 6.0), fma(pow(x, 4.0), 0.008333333333333333, (x * (x * 0.16666666666666666)))))));
}

Julia

function code(x)
	return expm1(log1p(log1p(fma(0.0001984126984126984, (x ^ 6.0), fma((x ^ 4.0), 0.008333333333333333, Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(Exp[N[Log[1 + N[Log[1 + N[(0.0001984126984126984 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 50.6%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. log1p-def 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. fma-def 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow2 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-def 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* 96.0%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (log1p
  (+ (* (pow x 4.0) 0.008333333333333333) (* 0.16666666666666666 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return log1p(((pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p(((Math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p(((math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))))

Julia

function code(x)
	return log1p(Float64(Float64((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 50.5%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 50.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   2. fma-def 50.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   3. unpow2 50.5%

      \[\leadsto \log \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

4. Simplified 50.5%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 50.5%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 \cdot \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)} \]

   2. log-prod 50.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 1 + \log \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

   3. metadata-eval 50.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0} + \log \left(1 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]

   4. log1p-def 95.9%

      \[\leadsto 0 + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

6. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0 + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 95.9%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

10. Applied egg-rr 95.9%

    \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

11. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 3: 96.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 95.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023278 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))