bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.5% → 95.2%

Time: 20.9s

Alternatives: 4

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -6.345523484422262e+49

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 95.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* x x) 0.16666666666666666)
  (+
   (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
   (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 95.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   2. add-cube-cbrt 94.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   3. pow3 94.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}^{3}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

4. Applied egg-rr 94.6%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}^{3}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   2. *-commutative 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

6. Applied egg-rr 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

7. Final simplification 95.4%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2: 94.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* x (* x 0.16666666666666666)) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (x * 0.16666666666666666d0)) + ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (x * (x * 0.16666666666666666)) + (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)) + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (x * 0.16666666666666666)) + (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 94.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   2. associate-*r* 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   4. *-commutative 94.9%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   5. *-commutative 94.9%

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

6. Applied egg-rr 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

7. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 3: 94.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 4: 94.7% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 94.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. associate-*r* 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

7. Simplified 94.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 95.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023278 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))