UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 41.0s

Alternatives: 15

Speedup: 0.9×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_0, t_1 \cdot xi, \mathsf{fma}\left(t_1 \cdot \sin t_0, yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_1
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* (* ux maxCos) (* ux (+ ux -1.0)))))))))
   (fma
    (cos t_0)
    (* t_1 xi)
    (fma (* t_1 (sin t_0)) yi (* ux (* (* (- 1.0 ux) maxCos) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * ((ux * maxCos) * (ux * (ux + -1.0f)))))));
	return fmaf(cosf(t_0), (t_1 * xi), fmaf((t_1 * sinf(t_0)), yi, (ux * (((1.0f - ux) * maxCos) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))
	return fma(cos(t_0), Float32(t_1 * xi), fma(Float32(t_1 * sin(t_0)), yi, Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos))
        (t_1 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* t_0 (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_2 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (t_0 * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(t_0 * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)}\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) (- (* ux maxCos) maxCos)))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) - maxCos))))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) - maxCos))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi))
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (- (* ux (* 2.0 maxCos)) maxCos)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi)) * sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((ux * (2.0f * maxCos)) - maxCos))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi)) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) * maxCos)) - maxCos))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + -1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) - maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{\left(2 \cdot maxCos\right) \cdot ux} - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right)} - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

6. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)}\right) \]

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* maxCos (* ux ux))) (+ ux -1.0)))))
  (+ (* maxCos (* ux (* (- 1.0 ux) zi))) (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (maxCos * (ux * ux))) * (ux + -1.0f))))), ((maxCos * (ux * ((1.0f - ux) * zi))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi))
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi)) * sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi)) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

6. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

Alternative 7: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+
     (* xi (* (cos t_1) (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (* yi (sin t_1)))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 8: 90.0% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* (* ux maxCos) (* ux (+ ux -1.0)))))))
   xi)
  (- (* (* uy 2.0) (* PI yi)) (* maxCos (* ux (* zi (+ ux -1.0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * ((ux * maxCos) * (ux * (ux + -1.0f))))))) * xi), (((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)) - (maxCos * (ux * (zi * (ux + -1.0f))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi), Float32(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi)) - Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(zi * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in maxCos around 0 98.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

5. Taylor expanded in uy around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) \]

7. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) \]

8. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 90.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) (- (* ux maxCos) maxCos)))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* 2.0 (* PI (* uy yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) - maxCos))))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) - maxCos))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Final simplification 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 10: 90.1% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) (- (* ux maxCos) maxCos)))))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* (* uy 2.0) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) - maxCos))))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) - maxCos))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right) \]

7. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 11: 89.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
   (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* 2.0 (* PI (* uy yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

10. Final simplification 90.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 12: 81.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* (- 1.0 ux) (- (* ux maxCos) maxCos)))))))
   (+ xi (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((1.0f - ux) * ((ux * maxCos) - maxCos))))))) * (xi + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * maxCos) - maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 80.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \color{blue}{1} + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 80.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 80.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

11. Final simplification 80.4%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 13: 81.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (- (* ux (* 2.0 maxCos)) maxCos))))))
   (+ xi (* 2.0 (* PI (* uy yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * ((ux * (2.0f * maxCos)) - maxCos)))))) * (xi + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) * maxCos)) - maxCos)))))) * Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 80.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \color{blue}{1} + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 80.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + -1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) - maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{\left(2 \cdot maxCos\right) \cdot ux} - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 80.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right)} - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 80.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 14: 81.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (+ xi (* 2.0 (* PI (* uy yi))))
   (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), ((xi + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi)))) * sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 80.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \color{blue}{1} + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 80.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot {maxCos}^{2}\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(-{maxCos}^{2}\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(-\color{blue}{maxCos \cdot maxCos}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-neg-in 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    2. expm1-udef 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} - 1\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    3. add-sqr-sqrt -0.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-maxCos} \cdot \sqrt{-maxCos}\right)}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    4. sqrt-unprod 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-maxCos\right) \cdot \left(-maxCos\right)}}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    5. sqr-neg 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \sqrt{\color{blue}{maxCos \cdot maxCos}}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-unprod 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{maxCos} \cdot \sqrt{maxCos}\right)}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    7. add-sqr-sqrt 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{maxCos}\right)\right)} - 1\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 79.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} - 1\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    2. expm1-log1p 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{{maxCos}^{2}}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot ux\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot ux\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 79.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

15. Final simplification 79.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

Alternative 15: 81.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* ux maxCos))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
   (+ xi (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (ux * maxCos)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * (xi + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 80.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \color{blue}{1} + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 80.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot {maxCos}^{2}\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(-{maxCos}^{2}\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(-\color{blue}{maxCos \cdot maxCos}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-neg-in 80.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)}\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in uy around 0 80.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 80.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 80.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot 1 + 2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

14. Final simplification 80.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023275 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))