ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.2% → 99.5%

Time: 25.7s

Alternatives: 7

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* x x) 0.16666666666666666)
  (+
   (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0))
   (+
    (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
    (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + (((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   3. pow2 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}^{2}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   4. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   5. sqrt-prod 99.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   6. sqrt-prod 50.0%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 99.5%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   2. swap-sqr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   3. add-sqr-sqrt 99.7%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

7. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))
  (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))

C

double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

def code(x):
	return ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

3. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 3: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 4: 98.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (* x x) (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * x) * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 82.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. pow3 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}\right)}^{3}} \]

   3. cbrt-div 82.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}}^{3} \]

   4. *-commutative 82.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

   5. cbrt-prod 82.2%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

   6. rem-cbrt-cube 97.1%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

4. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{x \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 97.2%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\sqrt[3]{0.16666666666666666}}}\right)}}^{3} \]

   2. cube-div 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{{\left(\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\sqrt[3]{0.16666666666666666}}\right)}^{3}}} \]

   3. cbrt-undiv 82.5%

      \[\leadsto \frac{{x}^{3}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}}^{3}} \]

6. Applied egg-rr 82.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}^{3}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}^{3}}} \]

   2. unpow3 82.5%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}}} \]

   3. add-cube-cbrt 82.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}} \]

   4. clear-num 82.9%

      \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x}} \]

   5. *-commutative 82.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot {x}^{3}} \]

   6. unpow3 82.9%

      \[\leadsto \frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   7. associate-*r* 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{0.16666666666666666}{\tan x} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{x \cdot x}{6} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ x (tan x)) (/ (* x x) 6.0)))

C

double code(double x) {
	return (x / tan(x)) * ((x * x) / 6.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x / tan(x)) * ((x * x) / 6.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x / Math.tan(x)) * ((x * x) / 6.0);
}

Python

def code(x):
	return (x / math.tan(x)) * ((x * x) / 6.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / tan(x)) * Float64(Float64(x * x) / 6.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x / tan(x)) * ((x * x) / 6.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 82.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}} \]

   2. pow3 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}{\tan x}}\right)}^{3}} \]

   3. cbrt-div 82.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}}^{3} \]

   4. *-commutative 82.3%

      \[\leadsto {\left(\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

   5. cbrt-prod 82.2%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

   6. rem-cbrt-cube 97.1%

      \[\leadsto {\left(\frac{\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3} \]

4. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{x \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}{\sqrt[3]{\tan x}}\right)}^{3}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 97.2%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\frac{x}{\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\sqrt[3]{0.16666666666666666}}}\right)}}^{3} \]

   2. cube-div 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{{\left(\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\sqrt[3]{0.16666666666666666}}\right)}^{3}}} \]

   3. cbrt-undiv 82.5%

      \[\leadsto \frac{{x}^{3}}{{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}}^{3}} \]

6. Applied egg-rr 82.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}^{3}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. cube-mult 82.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right)}^{3}} \]

   2. unpow3 82.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}}} \]

   3. add-cube-cbrt 82.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666}}} \]

   4. div-inv 82.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\tan x \cdot \frac{1}{0.16666666666666666}}} \]

   5. times-frac 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} \cdot \frac{x \cdot x}{\frac{1}{0.16666666666666666}}} \]

   6. metadata-eval 98.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{x \cdot x}{\color{blue}{6}} \]

8. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\tan x} \cdot \frac{x \cdot x}{6}} \]

9. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \frac{x}{\tan x} \cdot \frac{x \cdot x}{6} \]

Alternative 6: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 7: 4.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. clear-num 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{x - \sin x}}} \]

   2. associate-/r/ 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\tan x} \cdot \left(x - \sin x\right)} \]

3. Applied egg-rr 57.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\tan x} \cdot \left(x - \sin x\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x}} \cdot \left(x - \sin x\right) \]

5. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

6. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 1 \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023274 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))