Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 77.4% → 99.5%

Time: 22.7s

Alternatives: 15

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 77.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0004:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{{t_0}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (if (<= x -0.0004)
     (* 2.6666666666666665 (/ 1.0 (/ (sin x) (pow t_0 2.0))))
     (if (<= x 4e-10)
       (/ t_0 (fma x (* x 0.09375) -0.75))
       (* 2.6666666666666665 (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.0004) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / (sin(x) / pow(t_0, 2.0)));
	} else if (x <= 4e-10) {
		tmp = t_0 / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0004)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / Float64(sin(x) / (t_0 ^ 2.0))));
	elseif (x <= 4e-10)
		tmp = Float64(t_0 / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.0004], N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 4e-10], N[(t$95$0 / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.00000000000000019e-4

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. pow2 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

   if -4.00000000000000019e-4 < x < 4.00000000000000015e-10

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

   if 4.00000000000000015e-10 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0004:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0005 \lor \neg \left(x \leq 4 \cdot 10^{-10}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0005) (not (<= x 4e-10)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) (fma x (* x 0.09375) -0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0005) || !(x <= 4e-10)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0005) || !(x <= 4e-10))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0005], N[Not[LessEqual[x, 4e-10]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.0000000000000001e-4 or 4.00000000000000015e-10 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]

   if -5.0000000000000001e-4 < x < 4.00000000000000015e-10

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0005 \lor \neg \left(x \leq 4 \cdot 10^{-10}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0005:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{t_0}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin (* x 0.5)) 2.0)))
   (if (<= x -0.0005)
     (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) t_0))
     (if (<= x 4e-10)
       (/ (sin (* x -0.5)) (fma x (* x 0.09375) -0.75))
       (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(sin((x * 0.5)), 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.0005) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / t_0);
	} else if (x <= 4e-10) {
		tmp = sin((x * -0.5)) / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0005)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / t_0));
	elseif (x <= 4e-10)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.0005], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 4e-10], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}}} \]

      3. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}} \]

   6. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   if -5.0000000000000001e-4 < x < 4.00000000000000015e-10

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

   if 4.00000000000000015e-10 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0005:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 4 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (/ t_0 (* 0.375 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = t_0 / (0.375d0 * (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return t_0 / (0.375 * (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(0.375 * Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(0.375 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 5: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 6: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 / (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 7: 99.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00014 \lor \neg \left(x \leq 0.00015\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.00014) (not (<= x 0.00015)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (* 0.5 (cos x))) (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) -0.75)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00014) || !(x <= 0.00015)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.00014d0)) .or. (.not. (x <= 0.00015d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((0.5d0 - (0.5d0 * cos(x))) / sin(x))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00014) || !(x <= 0.00015)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * Math.cos(x))) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.00014) or not (x <= 0.00015):
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * math.cos(x))) / math.sin(x))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / -0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.00014) || !(x <= 0.00015))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.00014) || ~((x <= 0.00015)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.00014], N[Not[LessEqual[x, 0.00015]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.3999999999999999e-4 or 1.49999999999999987e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]

   if -1.3999999999999999e-4 < x < 1.49999999999999987e-4

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00014 \lor \neg \left(x \leq 0.00015\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 99.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00375 \lor \neg \left(x \leq 0.0034\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.00375) (not (<= x 0.0034)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (- 0.5 (* 0.5 (cos x))) (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) (fma x (* x 0.09375) -0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00375) || !(x <= 0.0034)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * ((0.5 - (0.5 * cos(x))) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.00375) || !(x <= 0.0034))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x))) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.00375], N[Not[LessEqual[x, 0.0034]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0037499999999999999 or 0.00339999999999999981 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]

   if -0.0037499999999999999 < x < 0.00339999999999999981

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00375 \lor \neg \left(x \leq 0.0034\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00375 \lor \neg \left(x \leq 0.0034\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.5 - \frac{\cos x}{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.00375) (not (<= x 0.0034)))
   (/ (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)) (* 0.375 (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) (fma x (* x 0.09375) -0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00375) || !(x <= 0.0034)) {
		tmp = (0.5 - (cos(x) / 2.0)) / (0.375 * sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.00375) || !(x <= 0.0034))
		tmp = Float64(Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)) / Float64(0.375 * sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.00375], N[Not[LessEqual[x, 0.0034]], $MachinePrecision]], N[(N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0037499999999999999 or 0.00339999999999999981 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}{\sin x \cdot 0.375} \]

   if -0.0037499999999999999 < x < 0.00339999999999999981

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00375 \lor \neg \left(x \leq 0.0034\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.5 - \frac{\cos x}{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 10: 99.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 - 0.5 \cdot \cos x\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00375:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot t_0}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0034:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.5 (* 0.5 (cos x)))))
   (if (<= x -0.00375)
     (/ (* 2.6666666666666665 t_0) (sin x))
     (if (<= x 0.0034)
       (/ (sin (* x -0.5)) (fma x (* x 0.09375) -0.75))
       (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 - (0.5 * cos(x));
	double tmp;
	if (x <= -0.00375) {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_0) / sin(x);
	} else if (x <= 0.0034) {
		tmp = sin((x * -0.5)) / fma(x, (x * 0.09375), -0.75);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(x)))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00375)
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 * t_0) / sin(x));
	elseif (x <= 0.0034)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / fma(x, Float64(x * 0.09375), -0.75));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00375], N[(N[(2.6666666666666665 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0034], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * 0.09375), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0037499999999999999

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. pow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 97.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 97.8%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 97.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}} \]

   12. Simplified 97.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}} \]

   if -0.0037499999999999999 < x < 0.00339999999999999981

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{0.09375 \cdot {x}^{2} - 0.75}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.09375} - 0.75} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.09375 - 0.75} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.09375\right)} - 0.75} \]

      4. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, \color{blue}{-0.75}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}} \]

   if 0.00339999999999999981 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 98.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00375:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0034:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.09375, -0.75\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 98.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00017 \lor \neg \left(x \leq 0.00017\right):\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.00017) (not (<= x 0.00017)))
   (/ (+ 1.3333333333333333 (* (cos x) -1.3333333333333333)) (sin x))
   (/ (sin (* x -0.5)) -0.75)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00017) || !(x <= 0.00017)) {
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.00017d0)) .or. (.not. (x <= 0.00017d0))) then
        tmp = (1.3333333333333333d0 + (cos(x) * (-1.3333333333333333d0))) / sin(x)
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.00017) || !(x <= 0.00017)) {
		tmp = (1.3333333333333333 + (Math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / Math.sin(x);
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.00017) or not (x <= 0.00017):
		tmp = (1.3333333333333333 + (math.cos(x) * -1.3333333333333333)) / math.sin(x)
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / -0.75
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.00017) || !(x <= 0.00017))
		tmp = Float64(Float64(1.3333333333333333 + Float64(cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.00017) || ~((x <= 0.00017)))
		tmp = (1.3333333333333333 + (cos(x) * -1.3333333333333333)) / sin(x);
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.00017], N[Not[LessEqual[x, 0.00017]], $MachinePrecision]], N[(N[(1.3333333333333333 + N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * -1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.7e-4 or 1.7e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]

      3. pow2 99.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left({\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{1}{\sin x}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. sin-mult 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      2. +-inverses 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      3. cos-0 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      4. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      5. distribute-lft-out 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      6. metadata-eval 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      7. *-commutative 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      8. neg-mul-1 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

      9. cos-neg 98.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   9. Simplified 98.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sin x}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around inf 98.1%

       \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos x}{\sin x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ 98.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos x\right)}{\sin x}} \]

       2. cancel-sign-sub-inv 98.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.5\right) \cdot \cos x\right)}}{\sin x} \]

       3. metadata-eval 98.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{-0.5} \cdot \cos x\right)}{\sin x} \]

       4. *-commutative 98.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\cos x \cdot -0.5}\right)}{\sin x} \]

       5. distribute-lft-in 97.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665 \cdot 0.5 + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}}{\sin x} \]

       6. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.3333333333333333} + 2.6666666666666665 \cdot \left(\cos x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \]

       7. *-commutative 97.7%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\cos x \cdot -0.5\right) \cdot 2.6666666666666665}}{\sin x} \]

       8. associate-*l* 97.7%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \color{blue}{\cos x \cdot \left(-0.5 \cdot 2.6666666666666665\right)}}{\sin x} \]

       9. metadata-eval 97.7%

          \[\leadsto \frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot \color{blue}{-1.3333333333333333}}{\sin x} \]

   12. Simplified 97.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}} \]

   if -1.7e-4 < x < 1.7e-4

   1. Initial program 58.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. remove-double-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      5. sin-neg 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      6. distribute-lft-neg-out 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      7. neg-mul-1 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      8. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      9. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

      10. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      11. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      12. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

      13. associate-/l/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      14. neg-mul-1 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      15. sin-neg 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      16. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

      17. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

      18. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

      19. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00017 \lor \neg \left(x \leq 0.00017\right):\\ \;\;\;\;\frac{1.3333333333333333 + \cos x \cdot -1.3333333333333333}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 54.3% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 55.1%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{1.3333333333333333} \]

5. Final simplification 55.1%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]

Alternative 13: 54.5% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x -0.5)) -0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * -0.5)) / -0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 55.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

7. Final simplification 55.4%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \]

Alternative 14: 50.6% accurate, 24.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.6666666666666665
  (/ 1.0 (+ (* x -0.3333333333333333) (* 4.0 (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.6666666666666665d0 * (1.0d0 / ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (4.0d0 * (1.0d0 / x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(4.0 * Float64(1.0 / x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. pow2 78.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

5. Applied egg-rr 78.9%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 51.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot x + 4 \cdot \frac{1}{x}}} \]

7. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 15: 50.1% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 78.9%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 50.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

5. Final simplification 50.8%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023274 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))