bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 29.8% → 53.2%

Time: 6.9s

Precision: binary64

Cost: 320

Math

\[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

↓

\[\frac{x}{\frac{6}{x}} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

↓

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (/ 6.0 x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

↓

double code(double x) {
	return x / (6.0 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (6.0d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return x / (6.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

↓

def code(x):
	return x / (6.0 / x)

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(x / Float64(6.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = x / (6.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x / N[(6.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	29.8%
Target	53.1%
Herbie	53.2%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 32.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Simplified 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.8%	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
   unpow2 [=>] 55.8%	\[ 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Applied egg-rr 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.8%	\[ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
   add-sqr-sqrt [=>] 55.7%	\[ \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
   pow2 [=>] 55.7%	\[ \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}^{2}} \]
   *-commutative [=>] 55.7%	\[ {\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]
   sqrt-prod [=>] 55.8%	\[ {\color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]
   sqrt-prod [=>] 26.9%	\[ {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]
   add-sqr-sqrt [<=] 55.8%	\[ {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

5. Applied egg-rr 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.8%	\[ {\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]
   add-sqr-sqrt [=>] 55.8%	\[ \color{blue}{\sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}}} \]
   unpow2 [=>] 55.8%	\[ \sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \]
   sqrt-prod [=>] 26.9%	\[ \sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt{x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}\right)} \]
   add-sqr-sqrt [<=] 40.2%	\[ \sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]
   associate-*r* [=>] 40.2%	\[ \color{blue}{\left(\sqrt{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} \]
   unpow2 [=>] 40.2%	\[ \left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}} \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666} \]
   sqrt-prod [=>] 26.9%	\[ \left(\color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt{x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}\right)} \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666} \]
   add-sqr-sqrt [<=] 55.8%	\[ \left(\color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666} \]

6. Applied egg-rr 55.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x}}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.8%	\[ \left(\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot x\right) \cdot \sqrt{0.16666666666666666} \]
   associate-*l* [=>] 55.8%	\[ \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]
   swap-sqr [=>] 55.8%	\[ \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]
   add-sqr-sqrt [<=] 55.8%	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} \]
   metadata-eval [<=] 55.8%	\[ \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} \]
   div-inv [<=] 55.8%	\[ \color{blue}{\frac{x \cdot x}{6}} \]
   associate-/l* [=>] 55.9%	\[ \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x}}} \]

7. Final simplification 55.9%

   \[\leadsto \frac{x}{\frac{6}{x}} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	53.2%
Cost	320

\[\frac{x}{\frac{6}{x}} \]

Alternative 2
Accuracy	53.1%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3
Accuracy	53.1%
Cost	320

\[x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023272 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))