expq2 (section 3.11)

Percentage Accurate: 37.4% → 99.3%

Time: 3.9s

Alternatives: 5

Speedup: 68.3×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))

C

double code(double x) {
	return exp(x) / (exp(x) - 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = exp(x) / (exp(x) - 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp(x) / (Math.exp(x) - 1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.exp(x) / (math.exp(x) - 1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(x) / Float64(exp(x) - 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = exp(x) / (exp(x) - 1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 37.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))

C

double code(double x) {
	return exp(x) / (exp(x) - 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = exp(x) / (exp(x) - 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp(x) / (Math.exp(x) - 1.0);
}

Python

def code(x):
	return math.exp(x) / (math.exp(x) - 1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(x) / Float64(exp(x) - 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = exp(x) / (exp(x) - 1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp x) (expm1 x)))

C

double code(double x) {
	return exp(x) / expm1(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp(x) / Math.expm1(x);
}

Python

def code(x):
	return math.exp(x) / math.expm1(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(x) / expm1(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] / N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 35.4%

   \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 98.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]

Alternative 2: 68.4% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 + x \cdot -0.08333333333333333\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right) - t_0 \cdot t_0}{x \cdot 0.5 - t_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 + \left(x \cdot 0.08333333333333333 + \frac{1}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.08333333333333333 (* x x))))
   (if (<= x -1e+78)
     (/
      (+
       (+ 0.5 (* x -0.08333333333333333))
       (* x (- 0.25 (* (* x x) 0.006944444444444444))))
      (/ (- (* (* x 0.5) (* x 0.5)) (* t_0 t_0)) (- (* x 0.5) t_0)))
     (+ 0.5 (+ (* x 0.08333333333333333) (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -0.08333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -1e+78) {
		tmp = ((0.5 + (x * -0.08333333333333333)) + (x * (0.25 - ((x * x) * 0.006944444444444444)))) / ((((x * 0.5) * (x * 0.5)) - (t_0 * t_0)) / ((x * 0.5) - t_0));
	} else {
		tmp = 0.5 + ((x * 0.08333333333333333) + (1.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.08333333333333333d0) * (x * x)
    if (x <= (-1d+78)) then
        tmp = ((0.5d0 + (x * (-0.08333333333333333d0))) + (x * (0.25d0 - ((x * x) * 0.006944444444444444d0)))) / ((((x * 0.5d0) * (x * 0.5d0)) - (t_0 * t_0)) / ((x * 0.5d0) - t_0))
    else
        tmp = 0.5d0 + ((x * 0.08333333333333333d0) + (1.0d0 / x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -0.08333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -1e+78) {
		tmp = ((0.5 + (x * -0.08333333333333333)) + (x * (0.25 - ((x * x) * 0.006944444444444444)))) / ((((x * 0.5) * (x * 0.5)) - (t_0 * t_0)) / ((x * 0.5) - t_0));
	} else {
		tmp = 0.5 + ((x * 0.08333333333333333) + (1.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = -0.08333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -1e+78:
		tmp = ((0.5 + (x * -0.08333333333333333)) + (x * (0.25 - ((x * x) * 0.006944444444444444)))) / ((((x * 0.5) * (x * 0.5)) - (t_0 * t_0)) / ((x * 0.5) - t_0))
	else:
		tmp = 0.5 + ((x * 0.08333333333333333) + (1.0 / x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-0.08333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e+78)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 + Float64(x * -0.08333333333333333)) + Float64(x * Float64(0.25 - Float64(Float64(x * x) * 0.006944444444444444)))) / Float64(Float64(Float64(Float64(x * 0.5) * Float64(x * 0.5)) - Float64(t_0 * t_0)) / Float64(Float64(x * 0.5) - t_0)));
	else
		tmp = Float64(0.5 + Float64(Float64(x * 0.08333333333333333) + Float64(1.0 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = -0.08333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e+78)
		tmp = ((0.5 + (x * -0.08333333333333333)) + (x * (0.25 - ((x * x) * 0.006944444444444444)))) / ((((x * 0.5) * (x * 0.5)) - (t_0 * t_0)) / ((x * 0.5) - t_0));
	else
		tmp = 0.5 + ((x * 0.08333333333333333) + (1.0 / x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.08333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1e+78], N[(N[(N[(0.5 + N[(x * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.25 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.006944444444444444), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 + N[(N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision] + N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.00000000000000001e78

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 2.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.08333333333333333 \cdot x + \frac{1}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 2.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot x + \frac{1}{x}\right) + 0.5} \]

      2. +-commutative 2.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{x} + 0.08333333333333333 \cdot x\right)} + 0.5 \]

      3. associate-+l+ 2.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x} + \left(0.08333333333333333 \cdot x + 0.5\right)} \]

      4. *-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \left(\color{blue}{x \cdot 0.08333333333333333} + 0.5\right) \]

      5. fma-def 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.08333333333333333, 0.5\right)} \]

   6. Simplified 2.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x} + \mathsf{fma}\left(x, 0.08333333333333333, 0.5\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333 + 0.5\right)} \]

      2. *-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \left(\color{blue}{0.08333333333333333 \cdot x} + 0.5\right) \]

   8. Applied egg-rr 2.0%

      \[\leadsto \frac{1}{x} + \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot x + 0.5\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \left(\color{blue}{x \cdot 0.08333333333333333} + 0.5\right) \]

      2. +-commutative 2.0%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \color{blue}{\left(0.5 + x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      3. flip-+ 1.9%

         \[\leadsto \frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}{0.5 - x \cdot 0.08333333333333333}} \]

      4. frac-add 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

      5. *-un-lft-identity 0.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} + x \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      6. *-commutative 0.7%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot x}\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      7. cancel-sign-sub-inv 0.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.08333333333333333\right) \cdot x\right)} + x \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      8. metadata-eval 0.7%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 + \color{blue}{-0.08333333333333333} \cdot x\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      9. metadata-eval 0.7%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      10. swap-sqr 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot 0.08333333333333333\right)}\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      11. metadata-eval 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.006944444444444444}\right)}{x \cdot \left(0.5 - x \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

      12. *-commutative 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{x \cdot \left(0.5 - \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot x}\right)} \]

      13. cancel-sign-sub-inv 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{x \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(-0.08333333333333333\right) \cdot x\right)}} \]

      14. metadata-eval 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{-0.08333333333333333} \cdot x\right)} \]

   10. Applied egg-rr 0.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{x \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in 0.7%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\color{blue}{x \cdot 0.5 + x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       2. flip-+ 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right) - \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right)}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}}} \]

       3. *-commutative 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot 0.5\right) - \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right)}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       4. *-commutative 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right)} - \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right)}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       5. *-commutative 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \color{blue}{\left(\left(-0.08333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)\right)}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       6. *-commutative 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(\left(-0.08333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.08333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       7. associate-*l* 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.08333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       8. associate-*l* 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x \cdot 0.5 - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       9. *-commutative 10.3%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\color{blue}{0.5 \cdot x} - x \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot x\right)}} \]

       10. *-commutative 10.3%

           \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{0.5 \cdot x - \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}}} \]

       11. associate-*l* 10.3%

           \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{0.5 \cdot x - \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   12. Applied egg-rr 10.3%

       \[\leadsto \frac{\left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot x\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot x\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{0.5 \cdot x - -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   if -1.00000000000000001e78 < x

   1. Initial program 16.5%

      \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 98.5%

         \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 87.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.08333333333333333 \cdot x + \frac{1}{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 + x \cdot -0.08333333333333333\right) + x \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444\right)}{\frac{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right) - \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{x \cdot 0.5 - -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 + \left(x \cdot 0.08333333333333333 + \frac{1}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 66.4% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \frac{1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 0.5 (/ 1.0 x)))

C

double code(double x) {
	return 0.5 + (1.0 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0 + (1.0d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 + (1.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return 0.5 + (1.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 + Float64(1.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5 + (1.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 + N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 35.4%

   \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 98.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 68.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \frac{1}{x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 68.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x} + 0.5} \]

6. Simplified 68.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x} + 0.5} \]

7. Final simplification 68.3%

   \[\leadsto 0.5 + \frac{1}{x} \]

Alternative 4: 66.4% accurate, 68.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 x))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / x;
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / x

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 35.4%

   \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 98.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 67.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x}} \]

5. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \frac{1}{x} \]

Alternative 5: 3.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.5)

C

double code(double x) {
	return 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5;
}

Python

def code(x):
	return 0.5

Julia

function code(x)
	return 0.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5;
end

Wolfram

code[x_] := 0.5

Derivation

1. Initial program 35.4%

   \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 98.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 68.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.08333333333333333 \cdot x + \frac{1}{x}\right)} \]

5. Taylor expanded in x around inf 3.0%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{0.08333333333333333 \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 3.0%

      \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.08333333333333333} \]

7. Simplified 3.0%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.08333333333333333} \]

8. Taylor expanded in x around 0 3.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

9. Final simplification 3.3%

   \[\leadsto 0.5 \]

Developer target: 38.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 - e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (- 1.0 (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 - exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / (1.0d0 - exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / (1.0 - Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / (1.0 - math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 - exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / (1.0 - exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(1.0 - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (x)
  :name "expq2 (section 3.11)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ 1.0 (- 1.0 (exp (- x))))

  (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))