bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 30.0% → 52.6%

Time: 12.2s

Precision: binary64

Cost: 320

Math

\[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

↓

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

↓

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

↓

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

↓

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

↓

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	30.0%
Target	52.6%
Herbie	52.6%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 30.2%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 55.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

3. Simplified 55.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.9%	\[ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]
   unpow2 [=>] 55.9%	\[ 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Applied egg-rr 55.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.9%	\[ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]
   expm1-log1p-u [=>] 55.9%	\[ \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 55.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 55.9%	\[ \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]
   expm1-log1p-u [<=] 55.9%	\[ \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
   associate-*r* [=>] 55.9%	\[ \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

6. Final simplification 55.9%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	52.6%
Cost	320

\[x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 2
Accuracy	52.6%
Cost	320

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3
Accuracy	27.3%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))