Octave 3.8, oct_fill_randg

?

Percentage Accurate: 99.7% → 99.8%
Time: 15.2s
Precision: binary64
Cost: 13376

?

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (fma
   (sqrt (+ a -0.3333333333333333))
   (* 0.3333333333333333 rand)
   -0.3333333333333333)))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return a + fma(sqrt((a + -0.3333333333333333)), (0.3333333333333333 * rand), -0.3333333333333333);
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	return Float64(a + fma(sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333)), Float64(0.3333333333333333 * rand), -0.3333333333333333))
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := N[(a + N[(N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 * rand), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right)

Local Percentage Accuracy vs ?

The average percentage accuracy by input value. Horizontal axis shows value of an input variable; the variable is choosen in the title. Vertical axis is accuracy; higher is better. Red represent the original program, while blue represents Herbie's suggestion. These can be toggled with buttons below the plot. The line is an average while dots represent individual samples.

Herbie found 7 alternatives:

AlternativeAccuracySpeedup

Accuracy vs Speed

The accuracy (vertical axis) and speed (horizontal axis) of each alternatives. Up and to the right is better. The red square shows the initial program, and each blue circle shows an alternative.The line shows the best available speed-accuracy tradeoffs.

Bogosity?

Bogosity

Derivation?

  1. Initial program 99.4%

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Simplified99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
    Step-by-step derivation

    [Start]99.4%

    \[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

    sub-neg [=>]99.4%

    \[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

    metadata-eval [=>]99.4%

    \[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

    metadata-eval [=>]99.4%

    \[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

    *-commutative [=>]99.4%

    \[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

    sub-neg [=>]99.4%

    \[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

    metadata-eval [=>]99.4%

    \[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

    metadata-eval [=>]99.4%

    \[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

  3. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

  4. Simplified99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]
    Step-by-step derivation

    [Start]99.8%

    \[ \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    +-commutative [<=]99.8%

    \[ \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} - 0.3333333333333333 \]

    associate--l+ [=>]99.8%

    \[ \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

    *-commutative [=>]99.8%

    \[ a + \left(\color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333} - 0.3333333333333333\right) \]

    sub-neg [=>]99.8%

    \[ a + \left(\left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 - 0.3333333333333333\right) \]

    metadata-eval [=>]99.8%

    \[ a + \left(\left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 - 0.3333333333333333\right) \]

    associate-*l* [=>]99.8%

    \[ a + \left(\color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

    *-commutative [<=]99.8%

    \[ a + \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} - 0.3333333333333333\right) \]

    fma-neg [=>]99.8%

    \[ a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]

    +-commutative [=>]99.8%

    \[ a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

    metadata-eval [=>]99.8%

    \[ a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}, 0.3333333333333333 \cdot rand, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

  5. Final simplification99.8%

    \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy99.8%
Cost13376
\[a + \mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333\right) \]
Alternative 2
Accuracy92.4%
Cost7113
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1 \cdot 10^{+76} \lor \neg \left(rand \leq 2.6 \cdot 10^{+106}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
Alternative 3
Accuracy92.5%
Cost7113
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.1 \cdot 10^{+76} \lor \neg \left(rand \leq 2.6 \cdot 10^{+106}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
Alternative 4
Accuracy99.8%
Cost7104
\[a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) - 0.3333333333333333\right) \]
Alternative 5
Accuracy98.7%
Cost6976
\[a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \]
Alternative 6
Accuracy62.7%
Cost192
\[a - 0.3333333333333333 \]
Alternative 7
Accuracy61.7%
Cost64
\[a \]

Reproduce?

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))