Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.5% → 99.2%

Time: 5.7s

Alternatives: 7

Speedup: 18.7×

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log1p (expm1 x)))

C

double code(double x) {
	return log1p(expm1(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p(Math.expm1(x));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p(math.expm1(x))

Julia

function code(x)
	return log1p(expm1(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. associate-*r* 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

   5. associate-*l* 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. fma-def 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 55.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{2}}} \]

   2. metadata-eval 55.3%

      \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1}} \]

   3. /-rgt-identity 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   4. log1p-expm1-u 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right) \]

Alternative 2: 92.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \frac{{x}^{6} \cdot 0.037037037037037035 + 8}{4}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (/ (+ (* (pow x 6.0) 0.037037037037037035) 8.0) 4.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (((pow(x, 6.0) * 0.037037037037037035) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * ((((x ** 6.0d0) * 0.037037037037037035d0) + 8.0d0) / 4.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (((Math.pow(x, 6.0) * 0.037037037037037035) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (((math.pow(x, 6.0) * 0.037037037037037035) + 8.0) / 4.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64((x ^ 6.0) * 0.037037037037037035) + 8.0) / 4.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * ((((x ^ 6.0) * 0.037037037037037035) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[(N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.037037037037037035), $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. associate-*r* 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

   5. associate-*l* 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. fma-def 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. flip3-+ 56.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

   3. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

   4. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

7. Taylor expanded in x around 0 92.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\color{blue}{4}}}{2} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}^{3} + 8}{4}}{2} \]

   2. unpow-prod-down 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3}} + 8}{4}}{2} \]

   3. pow2 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\color{blue}{\left({x}^{2}\right)}}^{3} \cdot {0.3333333333333333}^{3} + 8}{4}}{2} \]

   4. pow-pow 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot {0.3333333333333333}^{3} + 8}{4}}{2} \]

   5. metadata-eval 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot {0.3333333333333333}^{3} + 8}{4}}{2} \]

   6. metadata-eval 92.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.037037037037037035} + 8}{4}}{2} \]

9. Applied egg-rr 92.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.037037037037037035} + 8}{4}}{2} \]

10. Final simplification 92.9%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{x}^{6} \cdot 0.037037037037037035 + 8}{4}}{2} \]

Alternative 3: 87.8% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+155} \lor \neg \left(x \leq 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot t_1}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot t_0 - 4}{t_1 - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* 0.3333333333333333 (* x x))))
   (if (or (<= x -5e+155) (not (<= x 1e+101)))
     (/ (* x t_1) 2.0)
     (/ (* x (/ (- (* t_0 t_0) 4.0) (- t_1 2.0))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+101)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    if ((x <= (-5d+155)) .or. (.not. (x <= 1d+101))) then
        tmp = (x * t_1) / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0d0) / (t_1 - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+101)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if (x <= -5e+155) or not (x <= 1e+101):
		tmp = (x * t_1) / 2.0
	else:
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+101))
		tmp = Float64(Float64(x * t_1) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 4.0) / Float64(t_1 - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e+155) || ~((x <= 1e+101)))
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	else
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -5e+155], N[Not[LessEqual[x, 1e+101]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * t$95$1), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.9999999999999999e155 or 9.9999999999999998e100 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -4.9999999999999999e155 < x < 9.9999999999999998e100

   1. Initial program 34.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 77.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 77.1%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. associate-*r* 77.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 77.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 77.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 77.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      6. fma-def 77.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 77.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 77.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 83.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 83.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 83.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 83.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 83.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]

   9. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+155} \lor \neg \left(x \leq 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 84.3% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.45)))
   (/ (* x (* 0.3333333333333333 (* x x))) 2.0)
   x))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.45d0))) then
        tmp = (x * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) / 2.0d0
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.45):
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45))
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) / 2.0);
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.45)))
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.45]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.4500000000000002 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 64.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 64.2%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. associate-*r* 64.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 64.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 64.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 64.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      6. fma-def 64.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 64.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 64.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -2.5 < x < 2.4500000000000002

   1. Initial program 7.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 5: 84.6% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. associate-*r* 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

   5. associate-*l* 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. fma-def 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 83.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 83.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 6: 52.0% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 55.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 55.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 7: 52.0% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 51.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.1%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   2. associate-*r* 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right)}{2} \]

   5. associate-*l* 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. fma-def 83.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 55.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]

6. Taylor expanded in x around 0 55.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

7. Final simplification 55.3%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))