Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 7.1s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

• 50.7% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \cos x \cdot \frac{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sinh y\right)\right)}{y} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (expm1 (log1p (sinh y))) y)))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (expm1(log1p(sinh(y))) / y);
}

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.expm1(Math.log1p(Math.sinh(y))) / y);
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.expm1(math.log1p(math.sinh(y))) / y)

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(expm1(log1p(sinh(y))) / y))
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[(Exp[N[Log[1 + N[Sinh[y], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 77.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sinh y\right)\right)}}{y} \]

3. Applied egg-rr 77.3%

   \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sinh y\right)\right)}}{y} \]

4. Final simplification 77.3%

   \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sinh y\right)\right)}{y} \]

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

Alternative 3: 78.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 640:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 8 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 640.0)
   (cos x)
   (if (<= y 8e+125)
     (* (* y y) (+ 0.16666666666666666 (* -0.08333333333333333 (* x x))))
     (* y (* (cos x) (* y 0.16666666666666666))))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 640.0) {
		tmp = cos(x);
	} else if (y <= 8e+125) {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	} else {
		tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 640.0d0) then
        tmp = cos(x)
    else if (y <= 8d+125) then
        tmp = (y * y) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (x * x)))
    else
        tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 640.0) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else if (y <= 8e+125) {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	} else {
		tmp = y * (Math.cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 640.0:
		tmp = math.cos(x)
	elif y <= 8e+125:
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)))
	else:
		tmp = y * (math.cos(x) * (y * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 640.0)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 8e+125)
		tmp = Float64(Float64(y * y) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(cos(x) * Float64(y * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 640.0)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 8e+125)
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	else
		tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 640.0], N[Cos[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 8e+125], N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.08333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 640

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 70.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 640 < y < 7.9999999999999994e125

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.5%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 4.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 36.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) \]

      3. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      5. distribute-rgt-out 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. unpow2 36.5%

         \[\leadsto \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   10. Simplified 36.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   if 7.9999999999999994e125 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 88.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 66.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in y around 0 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 88.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \cos x\right) \]

      2. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot \cos x\right)\right)} \]

      3. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \cos x\right)} \]

      4. *-commutative 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot \cos x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} \]

      5. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \]

   10. Simplified 88.9%

       \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 640:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 8 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 78.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 540:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 6.8 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 540.0)
   (* (cos x) (+ (* 0.16666666666666666 (* y y)) 1.0))
   (if (<= y 6.8e+125)
     (* (* y y) (+ 0.16666666666666666 (* -0.08333333333333333 (* x x))))
     (* y (* (cos x) (* y 0.16666666666666666))))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 540.0) {
		tmp = cos(x) * ((0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0);
	} else if (y <= 6.8e+125) {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	} else {
		tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 540.0d0) then
        tmp = cos(x) * ((0.16666666666666666d0 * (y * y)) + 1.0d0)
    else if (y <= 6.8d+125) then
        tmp = (y * y) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (x * x)))
    else
        tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 540.0) {
		tmp = Math.cos(x) * ((0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0);
	} else if (y <= 6.8e+125) {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	} else {
		tmp = y * (Math.cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 540.0:
		tmp = math.cos(x) * ((0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0)
	elif y <= 6.8e+125:
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)))
	else:
		tmp = y * (math.cos(x) * (y * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 540.0)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) + 1.0));
	elseif (y <= 6.8e+125)
		tmp = Float64(Float64(y * y) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(y * Float64(cos(x) * Float64(y * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 540.0)
		tmp = cos(x) * ((0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0);
	elseif (y <= 6.8e+125)
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	else
		tmp = y * (cos(x) * (y * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 540.0], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 6.8e+125], N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.08333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 540

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 86.5%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 86.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   6. Applied egg-rr 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   if 540 < y < 6.7999999999999998e125

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.5%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 4.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 36.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) \]

      3. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      5. distribute-rgt-out 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. unpow2 36.5%

         \[\leadsto \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   10. Simplified 36.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   if 6.7999999999999998e125 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 88.9%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 66.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 66.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in y around 0 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 88.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \cos x\right) \]

      2. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot \cos x\right)\right)} \]

      3. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \cos x\right)} \]

      4. *-commutative 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot \cos x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} \]

      5. associate-*r* 88.9%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \]

   10. Simplified 88.9%

       \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 540:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 6.8 \cdot 10^{+125}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 73.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 52000:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 52000.0)
   (cos x)
   (* (* y y) (+ 0.16666666666666666 (* -0.08333333333333333 (* x x))))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 52000.0) {
		tmp = cos(x);
	} else {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 52000.0d0) then
        tmp = cos(x)
    else
        tmp = (y * y) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 52000.0) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 52000.0:
		tmp = math.cos(x)
	else:
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)))
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 52000.0)
		tmp = cos(x);
	else
		tmp = Float64(Float64(y * y) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 52000.0)
		tmp = cos(x);
	else
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 52000.0], N[Cos[x], $MachinePrecision], N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.08333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 52000

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 70.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 52000 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 56.1%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 56.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 42.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 42.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 14.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 14.6%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. unpow2 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) \]

      3. unpow2 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      5. distribute-rgt-out 59.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. unpow2 59.4%

         \[\leadsto \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   10. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 52000:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 50.8% accurate, 15.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 7.3 \lor \neg \left(y \leq 8 \cdot 10^{+125}\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y 7.3) (not (<= y 8e+125)))
   (+ (* 0.16666666666666666 (* y y)) 1.0)
   (* -0.08333333333333333 (* y (* y (* x x))))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 7.3) || !(y <= 8e+125)) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	} else {
		tmp = -0.08333333333333333 * (y * (y * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= 7.3d0) .or. (.not. (y <= 8d+125))) then
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (y * y)) + 1.0d0
    else
        tmp = (-0.08333333333333333d0) * (y * (y * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= 7.3) || !(y <= 8e+125)) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	} else {
		tmp = -0.08333333333333333 * (y * (y * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= 7.3) or not (y <= 8e+125):
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0
	else:
		tmp = -0.08333333333333333 * (y * (y * (x * x)))
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= 7.3) || !(y <= 8e+125))
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) + 1.0);
	else
		tmp = Float64(-0.08333333333333333 * Float64(y * Float64(y * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= 7.3) || ~((y <= 8e+125)))
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	else
		tmp = -0.08333333333333333 * (y * (y * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, 7.3], N[Not[LessEqual[y, 8e+125]], $MachinePrecision]], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision], N[(-0.08333333333333333 * N[(y * N[(y * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 7.29999999999999982 or 7.9999999999999994e125 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 87.0%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 87.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 87.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 87.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 87.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   6. Applied egg-rr 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   7. Taylor expanded in x around 0 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 55.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 55.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Simplified 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 7.29999999999999982 < y < 7.9999999999999994e125

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 4.5%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 4.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 4.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 3.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 4.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 36.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) \]

      3. unpow2 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 36.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      5. distribute-rgt-out 36.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. unpow2 36.5%

         \[\leadsto \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   10. Simplified 36.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 35.1%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow2 35.1%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {y}^{2}\right) \]

       2. unpow2 35.1%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

       3. *-commutative 35.1%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       4. associate-*l* 35.1%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

   13. Simplified 35.1%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 7.3 \lor \neg \left(y \leq 8 \cdot 10^{+125}\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.08333333333333333 \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 52.2% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 7.3:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 7.3)
   (+ (* 0.16666666666666666 (* y y)) 1.0)
   (* (* y y) (+ 0.16666666666666666 (* -0.08333333333333333 (* x x))))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 7.3) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	} else {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 7.3d0) then
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (y * y)) + 1.0d0
    else
        tmp = (y * y) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.08333333333333333d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 7.3) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	} else {
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 7.3:
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0
	else:
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)))
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 7.3)
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) + 1.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(y * y) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.08333333333333333 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 7.3)
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
	else
		tmp = (y * y) * (0.16666666666666666 + (-0.08333333333333333 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 7.3], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision], N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.08333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 7.29999999999999982

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 86.5%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 86.5%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 86.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   6. Applied egg-rr 86.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   7. Taylor expanded in x around 0 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 53.2%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 53.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   9. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 7.29999999999999982 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 56.1%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 56.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 56.1%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \cos x \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 42.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

      2. associate-*r* 42.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   7. Simplified 56.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)} \cdot \cos x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 14.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 14.6%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. unpow2 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot {y}^{2}\right) \]

      3. unpow2 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + -0.08333333333333333 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 14.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + \color{blue}{\left(-0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(y \cdot y\right)} \]

      5. distribute-rgt-out 59.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]

      6. unpow2 59.4%

         \[\leadsto \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   10. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 7.3:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 47.3% accurate, 29.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 10200000000000:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 10200000000000.0) 1.0 (* y (* y 0.16666666666666666))))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 10200000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = y * (y * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 10200000000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = y * (y * 0.16666666666666666d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 10200000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = y * (y * 0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 10200000000000.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = y * (y * 0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 10200000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(y * Float64(y * 0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 10200000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = y * (y * 0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 10200000000000.0], 1.0, N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 1.02e13

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 85.7%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 85.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 85.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 85.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 85.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   6. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   7. Taylor expanded in x around 0 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 52.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 52.7%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. fma-def 52.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   9. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in y around 0 40.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.02e13 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 57.8%

         \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

      2. distribute-rgt1-in 57.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

      3. fma-def 57.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

      4. unpow2 57.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

   4. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 57.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   6. Applied egg-rr 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

   7. Taylor expanded in x around 0 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 43.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 43.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. fma-def 43.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   9. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   10. Taylor expanded in y around inf 43.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 43.4%

          \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

       2. associate-*r* 43.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]

   12. Simplified 43.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 10200000000000:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9: 47.6% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1 \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y) :precision binary64 (+ (* 0.16666666666666666 (* y y)) 1.0))

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	return (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = (0.16666666666666666d0 * (y * y)) + 1.0d0
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	return (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	return (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) + 1.0)
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp = code(x, y)
	tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) + 1.0;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 78.6%

      \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

   2. distribute-rgt1-in 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

   3. fma-def 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

   4. unpow2 78.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

4. Simplified 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

6. Applied egg-rr 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

7. Taylor expanded in x around 0 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

   2. unpow2 50.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

9. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

10. Final simplification 50.3%

    \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1 \]

Alternative 10: 28.4% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} y = |y|\\ \\ 1 \end{array} \]

FPCore

NOTE: y should be positive before calling this function
(FPCore (x y) :precision binary64 1.0)

C

y = abs(y);
double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Fortran

NOTE: y should be positive before calling this function
real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = 1.0d0
end function

Java

y = Math.abs(y);
public static double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Python

y = abs(y)
def code(x, y):
	return 1.0

Julia

y = abs(y)
function code(x, y)
	return 1.0
end

MATLAB

y = abs(y)
function tmp = code(x, y)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

NOTE: y should be positive before calling this function
code[x_, y_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x + 0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \cos x\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 78.6%

      \[\leadsto \cos x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \cos x} \]

   2. distribute-rgt1-in 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \cdot \cos x} \]

   3. fma-def 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {y}^{2}, 1\right)} \cdot \cos x \]

   4. unpow2 78.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{y \cdot y}, 1\right) \cdot \cos x \]

4. Simplified 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right) \cdot \cos x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

6. Applied egg-rr 78.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \cos x \]

7. Taylor expanded in x around 0 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

   2. unpow2 50.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   3. fma-def 50.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

9. Simplified 50.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

10. Taylor expanded in y around 0 30.6%

    \[\leadsto \color{blue}{1} \]

11. Final simplification 30.6%

    \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (cos x) (/ (sinh y) y)))