Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 76.9% → 99.5%

Time: 12.7s

Alternatives: 10

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 76.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \frac{t_0}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5)))) (/ t_0 (* 0.375 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = t_0 / (0.375d0 * (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return t_0 / (0.375 * (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return t_0 / (0.375 * (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(0.375 * Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = t_0 / (0.375 * (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(0.375 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 77.7%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. associate-*r/ 77.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

   3. sqr-sin-a 48.7%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

   4. add-sqr-sqrt 16.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   5. sqrt-unprod 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   6. swap-sqr 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   7. metadata-eval 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

   8. metadata-eval 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   9. swap-sqr 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   11. add-sqr-sqrt 48.7%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   12. sqr-sin-a 77.7%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   13. associate-*l* 77.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.01 \lor \neg \left(x \leq 0.0001\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.01) (not (<= x 0.0001)))
   (* 2.6666666666666665 (/ (pow (sin (* x 0.5)) 2.0) (sin x)))
   (/ (sin (* x -0.5)) (+ (* 0.375 (* x (* x 0.25))) -0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(sin((x * 0.5)), 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.01d0)) .or. (.not. (x <= 0.0001d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((sin((x * 0.5d0)) ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / ((0.375d0 * (x * (x * 0.25d0))) + (-0.75d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(Math.sin((x * 0.5)), 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.01) or not (x <= 0.0001):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(math.sin((x * 0.5)), 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((sin(Float64(x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / Float64(Float64(0.375 * Float64(x * Float64(x * 0.25))) + -0.75));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.01) || ~((x <= 0.0001)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((sin((x * 0.5)) ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.01], N[Not[LessEqual[x, 0.0001]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(0.375 * N[(x * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0100000000000000002 or 1.00000000000000005e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]

   if -0.0100000000000000002 < x < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 59.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 2.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 59.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 59.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} - 2\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} + \left(-2\right)\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.25} + \left(-2\right)\right)} \]

      3. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.25 + \left(-2\right)\right)} \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.25 \cdot x, -2\right)}} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.25}, -2\right)} \]

      8. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, \color{blue}{-2}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, -2\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right) + -2\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -2 \cdot 0.375}} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + \color{blue}{-0.75}} \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.01 \lor \neg \left(x \leq 0.0001\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.01 \lor \neg \left(x \leq 0.0001\right):\\ \;\;\;\;{t_0}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (if (or (<= x -0.01) (not (<= x 0.0001)))
     (* (pow t_0 2.0) (/ 2.6666666666666665 (sin x)))
     (/ t_0 (+ (* 0.375 (* x (* x 0.25))) -0.75)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001)) {
		tmp = pow(t_0, 2.0) * (2.6666666666666665 / sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    if ((x <= (-0.01d0)) .or. (.not. (x <= 0.0001d0))) then
        tmp = (t_0 ** 2.0d0) * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    else
        tmp = t_0 / ((0.375d0 * (x * (x * 0.25d0))) + (-0.75d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001)) {
		tmp = Math.pow(t_0, 2.0) * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -0.01) or not (x <= 0.0001):
		tmp = math.pow(t_0, 2.0) * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	else:
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.01) || !(x <= 0.0001))
		tmp = Float64((t_0 ^ 2.0) * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(Float64(0.375 * Float64(x * Float64(x * 0.25))) + -0.75));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.01) || ~((x <= 0.0001)))
		tmp = (t_0 ^ 2.0) * (2.6666666666666665 / sin(x));
	else
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -0.01], N[Not[LessEqual[x, 0.0001]], $MachinePrecision]], N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(N[(0.375 * N[(x * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0100000000000000002 or 1.00000000000000005e-4 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 98.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 32.3%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 31.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 99.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -0.0100000000000000002 < x < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 59.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 2.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 59.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 59.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} - 2\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} + \left(-2\right)\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.25} + \left(-2\right)\right)} \]

      3. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.25 + \left(-2\right)\right)} \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.25 \cdot x, -2\right)}} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.25}, -2\right)} \]

      8. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, \color{blue}{-2}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, -2\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right) + -2\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -2 \cdot 0.375}} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + \color{blue}{-0.75}} \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.01 \lor \neg \left(x \leq 0.0001\right):\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.01:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot t_1}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -0.01)
     (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))
     (if (<= x 0.0001)
       (/ t_0 (+ (* 0.375 (* x (* x 0.25))) -0.75))
       (/ (* 2.6666666666666665 t_1) (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.01) {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	} else if (x <= 0.0001) {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_1) / sin(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-0.01d0)) then
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    else if (x <= 0.0001d0) then
        tmp = t_0 / ((0.375d0 * (x * (x * 0.25d0))) + (-0.75d0))
    else
        tmp = (2.6666666666666665d0 * t_1) / sin(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.01) {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	} else if (x <= 0.0001) {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	} else {
		tmp = (2.6666666666666665 * t_1) / Math.sin(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.01:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	elif x <= 0.0001:
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75)
	else:
		tmp = (2.6666666666666665 * t_1) / math.sin(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.01)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	elseif (x <= 0.0001)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(Float64(0.375 * Float64(x * Float64(x * 0.25))) + -0.75));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 * t_1) / sin(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.01)
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	elseif (x <= 0.0001)
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	else
		tmp = (2.6666666666666665 * t_1) / sin(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.01], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0001], N[(t$95$0 / N[(N[(0.375 * N[(x * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.6666666666666665 * t$95$1), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 61.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 99.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \]

      4. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -0.0100000000000000002 < x < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 59.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 2.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 59.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 59.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} - 2\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} + \left(-2\right)\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.25} + \left(-2\right)\right)} \]

      3. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.25 + \left(-2\right)\right)} \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.25 \cdot x, -2\right)}} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.25}, -2\right)} \]

      8. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, \color{blue}{-2}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, -2\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right) + -2\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -2 \cdot 0.375}} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + \color{blue}{-0.75}} \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -0.75}} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. pow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.01:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.01:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_1}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -0.01)
     (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))
     (if (<= x 5e-7)
       (/ t_0 (+ (* 0.375 (* x (* x 0.25))) -0.75))
       (/ t_1 (* 0.375 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.01) {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	} else if (x <= 5e-7) {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	} else {
		tmp = t_1 / (0.375 * sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-0.01d0)) then
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    else if (x <= 5d-7) then
        tmp = t_0 / ((0.375d0 * (x * (x * 0.25d0))) + (-0.75d0))
    else
        tmp = t_1 / (0.375d0 * sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.01) {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	} else if (x <= 5e-7) {
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	} else {
		tmp = t_1 / (0.375 * Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.01:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	elif x <= 5e-7:
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75)
	else:
		tmp = t_1 / (0.375 * math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.01)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	elseif (x <= 5e-7)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(Float64(0.375 * Float64(x * Float64(x * 0.25))) + -0.75));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(0.375 * sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.01)
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	elseif (x <= 5e-7)
		tmp = t_0 / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	else
		tmp = t_1 / (0.375 * sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.01], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5e-7], N[(t$95$0 / N[(N[(0.375 * N[(x * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(0.375 * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0100000000000000002

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 98.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 61.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 45.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.4%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 99.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \]

      4. *-commutative 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   if -0.0100000000000000002 < x < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 59.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 2.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 59.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 59.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} - 2\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} + \left(-2\right)\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.25} + \left(-2\right)\right)} \]

      3. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.25 + \left(-2\right)\right)} \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.25 \cdot x, -2\right)}} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.25}, -2\right)} \]

      8. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, \color{blue}{-2}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, -2\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right) + -2\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -2 \cdot 0.375}} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + \color{blue}{-0.75}} \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -0.75}} \]

   if 4.99999999999999977e-7 < x

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.01:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}}{0.375 \cdot \sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 77.7%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0054 \lor \neg \left(x \leq 0.005\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0054) (not (<= x 0.005)))
   (* (/ 2.6666666666666665 (sin x)) (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)))
   (/ (sin (* x -0.5)) (+ (* 0.375 (* x (* x 0.25))) -0.75))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.005)) {
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	} else {
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.0054d0)) .or. (.not. (x <= 0.005d0))) then
        tmp = (2.6666666666666665d0 / sin(x)) * (0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0))
    else
        tmp = sin((x * (-0.5d0))) / ((0.375d0 * (x * (x * 0.25d0))) + (-0.75d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.005)) {
		tmp = (2.6666666666666665 / Math.sin(x)) * (0.5 - (Math.cos(x) / 2.0));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.0054) or not (x <= 0.005):
		tmp = (2.6666666666666665 / math.sin(x)) * (0.5 - (math.cos(x) / 2.0))
	else:
		tmp = math.sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.005))
		tmp = Float64(Float64(2.6666666666666665 / sin(x)) * Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / Float64(Float64(0.375 * Float64(x * Float64(x * 0.25))) + -0.75));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0054) || ~((x <= 0.005)))
		tmp = (2.6666666666666665 / sin(x)) * (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	else
		tmp = sin((x * -0.5)) / ((0.375 * (x * (x * 0.25))) + -0.75);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0054], N[Not[LessEqual[x, 0.005]], $MachinePrecision]], N[(N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(0.375 * N[(x * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0054000000000000003 or 0.0050000000000000001 < x

   1. Initial program 99.0%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 98.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 32.3%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 51.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 31.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 99.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 99.0%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(-0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot -0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2}} \]

      4. *-commutative 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   8. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

      2. sin-mult 98.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   10. Applied egg-rr 98.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right) - \cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. div-sub 98.1%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\cos \left(x \cdot -0.5 - x \cdot -0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       2. +-inverses 98.1%

          \[\leadsto \left(\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       3. cos-0 98.1%

          \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       4. metadata-eval 98.1%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot -0.5 + x \cdot -0.5\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       5. distribute-lft-out 98.1%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + -0.5\right)\right)}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       6. metadata-eval 98.1%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{-1}\right)}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       7. *-commutative 98.1%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       8. neg-mul-1 98.1%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(-x\right)}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

       9. cos-neg 98.1%

          \[\leadsto \left(0.5 - \frac{\color{blue}{\cos x}}{2}\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   12. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x} \]

   if -0.0054000000000000003 < x < 0.0050000000000000001

   1. Initial program 59.2%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 59.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. associate-*r/ 59.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

      10. sqrt-unprod 2.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

      12. sqr-sin-a 59.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      13. associate-*l* 59.2%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} - 2\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot {x}^{2} + \left(-2\right)\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.25} + \left(-2\right)\right)} \]

      3. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.25 + \left(-2\right)\right)} \]

      4. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.25 \cdot x\right)} + \left(-2\right)\right)} \]

      6. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.25 \cdot x, -2\right)}} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.25}, -2\right)} \]

      8. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, \color{blue}{-2}\right)} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.25, -2\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right) + -2\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -2 \cdot 0.375}} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + \color{blue}{-0.75}} \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) \cdot 0.375 + -0.75}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0054 \lor \neg \left(x \leq 0.005\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot \left(0.5 - \frac{\cos x}{2}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\right) + -0.75}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 54.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sin (* x 0.5)) 1.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) * 1.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) * 1.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) * 1.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.7%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 58.6%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{1.3333333333333333} \]

5. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1.3333333333333333 \]

Alternative 9: 54.2% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x -0.5)) -0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * (-0.5d0))) / (-0.75d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * -0.5)) / -0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * -0.5)) / -0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * -0.5)) / -0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * -0.5)) / -0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / -0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.7%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. associate-*r/ 77.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)}{\sin x}} \]

   3. sqr-sin-a 48.7%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)}}{\sin x} \]

   4. add-sqr-sqrt 16.5%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   5. sqrt-unprod 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   6. swap-sqr 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   7. metadata-eval 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right)}{\sin x} \]

   8. metadata-eval 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   9. swap-sqr 27.1%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right)}{\sin x} \]

   10. sqrt-unprod 16.3%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   11. add-sqr-sqrt 48.7%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right)}{\sin x} \]

   12. sqr-sin-a 77.7%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   13. associate-*l* 77.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

5. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 58.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{-0.75}} \]

7. Final simplification 58.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{-0.75} \]

Alternative 10: 49.8% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.7%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 77.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 55.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]

5. Final simplification 55.0%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Developer target: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023271 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))