2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 98.0%

Time: 6.4s

Alternatives: 4

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   3.0
   (log
    (cbrt
     (exp
      (cos
       (+
        (* (acos (/ g h)) 0.3333333333333333)
        (* 0.6666666666666666 PI)))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * log(cbrt(exp(cos(((acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))))))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * Math.log(Math.cbrt(Math.exp(Math.cos(((Math.acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * Math.PI)))))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * log(cbrt(exp(cos(Float64(Float64(acos(Float64(g / h)) * 0.3333333333333333) + Float64(0.6666666666666666 * pi))))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[(3.0 * N[Log[N[Power[N[Exp[N[Cos[N[(N[(N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   6. *-lft-identity 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(1 \cdot \frac{-g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   7. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   8. times-frac 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{-1 \cdot h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   9. neg-mul-1 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{\color{blue}{-h}}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-\left(-g\right)}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

   11. remove-double-neg 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

   4. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   5. remove-double-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-\left(-g\right)}}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   6. frac-2neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-g}{h}\right)} \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 51.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   8. sqrt-unprod 92.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   9. sqr-neg 92.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   10. sqrt-unprod 46.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 97.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   12. metadata-eval 97.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)} \]

   2. +-commutative 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right) \]

   3. fma-udef 97.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) \]

   4. add-cube-cbrt 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} \]

   5. log-prod 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-def 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   6. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   7. fma-def 98.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

9. Simplified 98.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 98.8%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

    2. *-commutative 98.8%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.8%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

12. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

Alternative 2: 98.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ g (- h))) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   6. *-lft-identity 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(1 \cdot \frac{-g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   7. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   8. times-frac 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{-1 \cdot h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   9. neg-mul-1 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{\color{blue}{-h}}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-\left(-g\right)}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

   11. remove-double-neg 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 4: 96.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* (acos (/ g h)) 0.3333333333333333) (* 0.6666666666666666 PI)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((Math.acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * Math.PI)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((math.acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * math.pi)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(acos(Float64(g / h)) * 0.3333333333333333) + Float64(0.6666666666666666 * pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((acos((g / h)) * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * pi)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   6. *-lft-identity 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(1 \cdot \frac{-g}{h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   7. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\color{blue}{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

   8. times-frac 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{-1 \cdot h}\right)}}{3}\right)\right) \]

   9. neg-mul-1 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-1 \cdot \left(-g\right)}{\color{blue}{-h}}\right)}{3}\right)\right) \]

   10. neg-mul-1 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-\left(-g\right)}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

   11. remove-double-neg 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{-h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3}\right) \]

   3. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

   4. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   5. remove-double-neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-\left(-g\right)}}{-h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   6. frac-2neg 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-g}{h}\right)} \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   7. add-sqr-sqrt 51.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   8. sqrt-unprod 92.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   9. sqr-neg 92.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   10. sqrt-unprod 46.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   11. add-sqr-sqrt 97.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   12. metadata-eval 97.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023268 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))