Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A

Percentage Accurate: 76.2% → 99.5%

Time: 17.9s

Alternatives: 20

Speedup: 1.5×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 76.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\left(\frac{8}{3} \cdot t_0\right) \cdot t_0}{\sin x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (* (* (/ 8.0 3.0) t_0) t_0) (sin x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = (((8.0d0 / 3.0d0) * t_0) * t_0) / sin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / Math.sin(x);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / math.sin(x)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = (((8.0 / 3.0) * t_0) * t_0) / sin(x);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(8.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0} \cdot 0.375} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ t_0 (* (/ (sin x) t_0) 0.375))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 / ((Math.sin(x) / t_0) * 0.375);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 / ((math.sin(x) / t_0) * 0.375)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(Float64(sin(x) / t_0) * 0.375))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 / ((sin(x) / t_0) * 0.375);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 79.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 52.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 20.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 15.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 52.6%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 79.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   2. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

8. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058 \lor \neg \left(x \leq 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (or (<= x -0.00058) (not (<= x 1e-12)))
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.00058) || !(x <= 1e-12)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if ((x <= (-0.00058d0)) .or. (.not. (x <= 1d-12))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if ((x <= -0.00058) || !(x <= 1e-12)) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if (x <= -0.00058) or not (x <= 1e-12):
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	else:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.00058) || !(x <= 1e-12))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.00058) || ~((x <= 1e-12)))
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	else
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -0.00058], N[Not[LessEqual[x, 1e-12]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.8e-4 or 9.9999999999999998e-13 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -5.8e-4 < x < 9.9999999999999998e-13

   1. Initial program 58.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 58.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 58.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058 \lor \neg \left(x \leq 10^{-12}\right):\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ t_1 := {t_0}^{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{t_1}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))) (t_1 (pow t_0 2.0)))
   (if (<= x -0.00058)
     (* 2.6666666666666665 (/ t_1 (sin x)))
     (if (<= x 1e-12)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (* t_1 (/ 2.6666666666666665 (sin x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double t_1 = pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	} else if (x <= 1e-12) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    t_1 = t_0 ** 2.0d0
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (t_1 / sin(x))
    else if (x <= 1d-12) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = t_1 * (2.6666666666666665d0 / sin(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double t_1 = Math.pow(t_0, 2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / Math.sin(x));
	} else if (x <= 1e-12) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / Math.sin(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	t_1 = math.pow(t_0, 2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / math.sin(x))
	elif x <= 1e-12:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / math.sin(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	t_1 = t_0 ^ 2.0
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_1 / sin(x)));
	elseif (x <= 1e-12)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(2.6666666666666665 / sin(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	t_1 = t_0 ^ 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = 2.6666666666666665 * (t_1 / sin(x));
	elseif (x <= 1e-12)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = t_1 * (2.6666666666666665 / sin(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$1 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e-12], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(2.6666666666666665 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -5.8e-4 < x < 9.9999999999999998e-13

   1. Initial program 58.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 58.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 58.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 9.9999999999999998e-13 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-*l/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x} \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}} \]

      4. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]

   6. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \frac{2.6666666666666665}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{t_0}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {t_0}^{-2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -0.00058)
     (* 2.6666666666666665 (/ (pow t_0 2.0) (sin x)))
     (if (<= x 1.5e-19)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 (* (sin x) (pow t_0 -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (pow(t_0, 2.0) / sin(x));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * ((t_0 ** 2.0d0) / sin(x))
    else if (x <= 1.5d-19) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (Math.pow(t_0, 2.0) / Math.sin(x));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = 2.6666666666666665 * (math.pow(t_0, 2.0) / math.sin(x))
	elif x <= 1.5e-19:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64((t_0 ^ 2.0) / sin(x)));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = 2.6666666666666665 * ((t_0 ^ 2.0) / sin(x));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * (t_0 ^ -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(2.6666666666666665 * N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5e-19], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x} \cdot 2.6666666666666665} \]

   if -5.8e-4 < x < 1.49999999999999996e-19

   1. Initial program 57.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 57.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 57.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.49999999999999996e-19 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 93.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 55.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 93.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      4. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      6. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      7. *-rgt-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      8. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      9. associate-/r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      10. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      11. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}}} \]

      12. pow-sqr 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}}}}} \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}}}} \]

      14. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}{1}}} \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{t_0}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {t_0}^{-2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -0.00058)
     (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) (pow t_0 2.0)))
     (if (<= x 1.5e-19)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 (* (sin x) (pow t_0 -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / pow(t_0, 2.0));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / (t_0 ** 2.0d0))
    else if (x <= 1.5d-19) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / Math.pow(t_0, 2.0));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / math.pow(t_0, 2.0))
	elif x <= 1.5e-19:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / (t_0 ^ 2.0)));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (t_0 ^ 2.0));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * (t_0 ^ -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5e-19], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. un-div-inv 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. sqr-sin-a 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 68.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 50.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      10. metadata-eval 50.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      11. metadata-eval 50.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      12. swap-sqr 50.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      13. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      14. add-sqr-sqrt 97.8%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   if -5.8e-4 < x < 1.49999999999999996e-19

   1. Initial program 57.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 57.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 57.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.49999999999999996e-19 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 93.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 55.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 93.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      4. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      6. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      7. *-rgt-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      8. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      9. associate-/r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      10. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      11. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}}} \]

      12. pow-sqr 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}}}}} \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}}}} \]

      14. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}{1}}} \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{{t_0}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {t_0}^{-2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -0.00058)
     (/ (pow t_0 2.0) (* (sin x) 0.375))
     (if (<= x 1.5e-19)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 (* (sin x) (pow t_0 -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = pow(t_0, 2.0) / (sin(x) * 0.375);
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = (t_0 ** 2.0d0) / (sin(x) * 0.375d0)
    else if (x <= 1.5d-19) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = Math.pow(t_0, 2.0) / (Math.sin(x) * 0.375);
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = math.pow(t_0, 2.0) / (math.sin(x) * 0.375)
	elif x <= 1.5e-19:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64((t_0 ^ 2.0) / Float64(sin(x) * 0.375));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = (t_0 ^ 2.0) / (sin(x) * 0.375);
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * (t_0 ^ -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * 0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5e-19], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \cdot 2.6666666666666665} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \cdot 2.6666666666666665 \]

      3. associate-*l/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x}} \]

      4. sqr-sin-a 97.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)\right)} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      5. add-sqr-sqrt 68.6%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      6. sqrt-unprod 50.8%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      7. swap-sqr 50.8%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      8. metadata-eval 50.8%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      9. metadata-eval 50.8%

         \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      10. swap-sqr 50.8%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      11. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      12. add-sqr-sqrt 97.8%

          \[\leadsto \frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)\right) \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

      13. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \cdot 2.6666666666666665}{\sin x} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}} \]

   if -5.8e-4 < x < 1.49999999999999996e-19

   1. Initial program 57.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 57.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 57.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.49999999999999996e-19 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 93.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 55.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 93.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      4. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      6. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      7. *-rgt-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      8. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      9. associate-/r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      10. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      11. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}}} \]

      12. pow-sqr 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}}}}} \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}}}} \]

      14. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}{1}}} \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}{\sin x \cdot 0.375}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ t_1 := \sin x \cdot {t_0}^{-2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{t_1}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{t_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))) (t_1 (* (sin x) (pow t_0 -2.0))))
   (if (<= x -0.00058)
     (* 2.6666666666666665 (/ 1.0 t_1))
     (if (<= x 1.5e-19)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double t_1 = sin(x) * pow(t_0, -2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_1);
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    t_1 = sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0))
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (1.0d0 / t_1)
    else if (x <= 1.5d-19) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double t_1 = Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0);
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_1);
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	t_1 = math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0)
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_1)
	elif x <= 1.5e-19:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / t_1
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	t_1 = Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / t_1));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / t_1);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	t_1 = sin(x) * (t_0 ^ -2.0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_1);
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5e-19], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / t$95$1), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 68.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 97.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      2. pow-flip 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-2\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]

   if -5.8e-4 < x < 1.49999999999999996e-19

   1. Initial program 57.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 57.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 57.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.49999999999999996e-19 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 93.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 55.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 93.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      4. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      6. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      7. *-rgt-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      8. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      9. associate-/r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      10. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      11. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}}} \]

      12. pow-sqr 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}}}}} \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}}}} \]

      14. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}{1}}} \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{{t_0}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {t_0}^{-2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5))))
   (if (<= x -0.00058)
     (/ 1.0 (* 0.375 (/ (sin x) (pow t_0 2.0))))
     (if (<= x 1.5e-19)
       (/ t_0 (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 (* (sin x) (pow t_0 -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 1.0 / (0.375 * (sin(x) / pow(t_0, 2.0)));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    if (x <= (-0.00058d0)) then
        tmp = 1.0d0 / (0.375d0 * (sin(x) / (t_0 ** 2.0d0)))
    else if (x <= 1.5d-19) then
        tmp = t_0 / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) * (t_0 ** (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	double tmp;
	if (x <= -0.00058) {
		tmp = 1.0 / (0.375 * (Math.sin(x) / Math.pow(t_0, 2.0)));
	} else if (x <= 1.5e-19) {
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) * Math.pow(t_0, -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	tmp = 0
	if x <= -0.00058:
		tmp = 1.0 / (0.375 * (math.sin(x) / math.pow(t_0, 2.0)))
	elif x <= 1.5e-19:
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) * math.pow(t_0, -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00058)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(0.375 * Float64(sin(x) / (t_0 ^ 2.0))));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) * (t_0 ^ -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00058)
		tmp = 1.0 / (0.375 * (sin(x) / (t_0 ^ 2.0)));
	elseif (x <= 1.5e-19)
		tmp = t_0 / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) * (t_0 ^ -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00058], N[(1.0 / N[(0.375 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5e-19], N[(t$95$0 / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, -2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-4

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 68.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 97.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   if -5.8e-4 < x < 1.49999999999999996e-19

   1. Initial program 57.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 57.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 57.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 57.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 1.49999999999999996e-19 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 93.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 44.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 55.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 93.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

      2. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \left(0.5 \cdot x\right)}^{2}}{\sin x}} \]

      2. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665 \cdot {\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}^{2}}{\sin x} \]

      3. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      4. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      5. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      6. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot 1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      7. *-rgt-identity 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      8. remove-double-div 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      9. associate-/r* 98.7%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}}} \]

      10. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}} \cdot \frac{1}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}}} \]

      11. unpow-1 98.7%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-1}}}}} \]

      12. pow-sqr 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(2 \cdot -1\right)}}}}} \]

      13. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}}}} \]

      14. associate-/l* 99.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}{1}}} \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00058:\\ \;\;\;\;\frac{1}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \left(t_0 \cdot \frac{t_0}{\sin x}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (* t_0 (/ t_0 (sin x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 * (t_0 / sin(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / Math.sin(x)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / math.sin(x)))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 * Float64(t_0 / sin(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 * (t_0 / sin(x)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right) \]

Alternative 10: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot -0.5\right)\\ 2.6666666666666665 \cdot \frac{t_0}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x -0.5))))
   (* 2.6666666666666665 (/ t_0 (/ (sin x) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * (-0.5d0)))
    code = 2.6666666666666665d0 * (t_0 / (sin(x) / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * -0.5));
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (Math.sin(x) / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * -0.5))
	return 2.6666666666666665 * (t_0 / (math.sin(x) / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * -0.5))
	return Float64(2.6666666666666665 * Float64(t_0 / Float64(sin(x) / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * -0.5));
	tmp = 2.6666666666666665 * (t_0 / (sin(x) / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.6666666666666665 * N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. remove-double-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   5. sin-neg 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   6. distribute-lft-neg-out 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{-\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   7. neg-mul-1 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   8. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot -1}}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   9. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}}} \]

   10. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   11. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   12. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{-1}} \]

   13. associate-/l/ 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{-1 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   14. neg-mul-1 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{-\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   15. sin-neg 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   16. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}} \]

   17. distribute-lft-neg-out 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}} \]

   18. distribute-rgt-neg-in 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}} \]

   19. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}} \]

Alternative 11: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{t_0}{\sin x \cdot \frac{0.375}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ t_0 (* (sin x) (/ 0.375 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return t_0 / (sin(x) * (0.375 / t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = t_0 / (sin(x) * (0.375d0 / t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return t_0 / (Math.sin(x) * (0.375 / t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return t_0 / (math.sin(x) * (0.375 / t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(t_0 / Float64(sin(x) * Float64(0.375 / t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = t_0 / (sin(x) * (0.375 / t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.375 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 79.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 52.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 20.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 15.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 52.6%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 79.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{1}{2.6666666666666665}}} \]

   2. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{0.375}} \]

7. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)} \cdot 0.375}} \]

8. Taylor expanded in x around inf 99.6%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.375 \cdot \frac{\sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\frac{0.375 \cdot \sin x}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}}} \]

   2. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\color{blue}{\sin x \cdot 0.375}}{\sin \left(0.5 \cdot x\right)}} \]

   3. *-commutative 99.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x \cdot 0.375}{\sin \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   4. associate-*r/ 99.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x \cdot \frac{0.375}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

Alternative 12: 99.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0054 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -0.0054) (not (<= x 0.0058)))
   (/ 2.6666666666666665 (/ (sin x) (- 0.5 (/ (cos x) 2.0))))
   (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 - (cos(x) / 2.0)));
	} else {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-0.0054d0)) .or. (.not. (x <= 0.0058d0))) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 / (sin(x) / (0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0)))
    else
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.0058)) {
		tmp = 2.6666666666666665 / (Math.sin(x) / (0.5 - (Math.cos(x) / 2.0)));
	} else {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -0.0054) or not (x <= 0.0058):
		tmp = 2.6666666666666665 / (math.sin(x) / (0.5 - (math.cos(x) / 2.0)))
	else:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -0.0054) || !(x <= 0.0058))
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(sin(x) / Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0))));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -0.0054) || ~((x <= 0.0058)))
		tmp = 2.6666666666666665 / (sin(x) / (0.5 - (cos(x) / 2.0)));
	else
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -0.0054], N[Not[LessEqual[x, 0.0058]], $MachinePrecision]], N[(2.6666666666666665 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -0.0054000000000000003 or 0.0058 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. clear-num 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. un-div-inv 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. sqr-sin-a 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 36.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 49.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 49.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      10. metadata-eval 49.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      11. metadata-eval 49.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      12. swap-sqr 49.0%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      13. sqrt-unprod 27.3%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      14. add-sqr-sqrt 98.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      5. distribute-lft-out 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. metadata-eval 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}} \]

      7. *-rgt-identity 98.2%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]

   if -0.0054000000000000003 < x < 0.0058

   1. Initial program 58.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 58.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 58.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0054 \lor \neg \left(x \leq 0.0058\right):\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 99.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.0054:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{t_0}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{t_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sin x) (- 0.5 (/ (cos x) 2.0)))))
   (if (<= x -0.0054)
     (* 2.6666666666666665 (/ 1.0 t_0))
     (if (<= x 0.0058)
       (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
       (/ 2.6666666666666665 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin(x) / (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	double tmp;
	if (x <= -0.0054) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(x) / (0.5d0 - (cos(x) / 2.0d0))
    if (x <= (-0.0054d0)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (1.0d0 / t_0)
    else if (x <= 0.0058d0) then
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin(x) / (0.5 - (Math.cos(x) / 2.0));
	double tmp;
	if (x <= -0.0054) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_0);
	} else if (x <= 0.0058) {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin(x) / (0.5 - (math.cos(x) / 2.0))
	tmp = 0
	if x <= -0.0054:
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_0)
	elif x <= 0.0058:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sin(x) / Float64(0.5 - Float64(cos(x) / 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.0054)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / t_0));
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sin(x) / (0.5 - (cos(x) / 2.0));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.0054)
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / t_0);
	elseif (x <= 0.0058)
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[(0.5 - N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.0054], N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0058], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / t$95$0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -0.0054000000000000003

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 97.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 68.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 50.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 97.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 99.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      5. distribute-lft-out 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. metadata-eval 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}} \]

      7. *-rgt-identity 97.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}} \]

   9. Simplified 97.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]

   if -0.0054000000000000003 < x < 0.0058

   1. Initial program 58.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 58.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 58.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 3.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 5.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 2.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 5.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 58.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 0.0058 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. clear-num 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. un-div-inv 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. sqr-sin-a 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 46.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 46.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      10. metadata-eval 46.8%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      11. metadata-eval 46.8%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      12. swap-sqr 46.8%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      13. sqrt-unprod 58.2%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      14. add-sqr-sqrt 98.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.8%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. sin-mult 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right) - \cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-sub 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot 0.5 - x \cdot 0.5\right)}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}}} \]

      2. +-inverses 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\cos \color{blue}{0}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      3. cos-0 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\frac{\color{blue}{1}}{2} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      4. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5} - \frac{\cos \left(x \cdot 0.5 + x \cdot 0.5\right)}{2}}} \]

      5. distribute-lft-out 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.5 + 0.5\right)\right)}}{2}}} \]

      6. metadata-eval 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \left(x \cdot \color{blue}{1}\right)}{2}}} \]

      7. *-rgt-identity 98.6%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos \color{blue}{x}}{2}}} \]

   9. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.0054:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0058:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - \frac{\cos x}{2}}}\\ \end{array} \]

Alternative 14: 58.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -7.6 \lor \neg \left(x \leq 9600000\right):\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -7.6) (not (<= x 9600000.0)))
   (/ 8.0 (sin x))
   (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -7.6) || !(x <= 9600000.0)) {
		tmp = 8.0 / sin(x);
	} else {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-7.6d0)) .or. (.not. (x <= 9600000.0d0))) then
        tmp = 8.0d0 / sin(x)
    else
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -7.6) || !(x <= 9600000.0)) {
		tmp = 8.0 / Math.sin(x);
	} else {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -7.6) or not (x <= 9600000.0):
		tmp = 8.0 / math.sin(x)
	else:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -7.6) || !(x <= 9600000.0))
		tmp = Float64(8.0 / sin(x));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -7.6) || ~((x <= 9600000.0)))
		tmp = 8.0 / sin(x);
	else
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -7.6], N[Not[LessEqual[x, 9600000.0]], $MachinePrecision]], N[(8.0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -7.5999999999999996 or 9.6e6 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 98.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 37.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 24.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      2. pow-flip 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-2\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 16.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{{x}^{2}}}\right)} \]

      2. metadata-eval 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{4}}{{x}^{2}}\right)} \]

      3. unpow2 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)} \]

   10. Simplified 16.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 16.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{\sin x}} \]

   if -7.5999999999999996 < x < 9.6e6

   1. Initial program 61.3%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 61.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 11.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 6.6%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 11.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 61.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 95.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 95.4%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -7.6 \lor \neg \left(x \leq 9600000\right):\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 15: 58.4% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 9600000:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -4e-5)
   (*
    2.6666666666666665
    (/ 1.0 (* (sin x) (+ 0.3333333333333333 (/ 4.0 (* x x))))))
   (if (<= x 9600000.0)
     (/ (sin (* x 0.5)) (+ 0.75 (* -0.09375 (* x x))))
     (/ 8.0 (sin x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / (sin(x) * (0.3333333333333333 + (4.0 / (x * x)))));
	} else if (x <= 9600000.0) {
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 8.0 / sin(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-4d-5)) then
        tmp = 2.6666666666666665d0 * (1.0d0 / (sin(x) * (0.3333333333333333d0 + (4.0d0 / (x * x)))))
    else if (x <= 9600000.0d0) then
        tmp = sin((x * 0.5d0)) / (0.75d0 + ((-0.09375d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 8.0d0 / sin(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4e-5) {
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / (Math.sin(x) * (0.3333333333333333 + (4.0 / (x * x)))));
	} else if (x <= 9600000.0) {
		tmp = Math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 8.0 / Math.sin(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -4e-5:
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / (math.sin(x) * (0.3333333333333333 + (4.0 / (x * x)))))
	elif x <= 9600000.0:
		tmp = math.sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)))
	else:
		tmp = 8.0 / math.sin(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -4e-5)
		tmp = Float64(2.6666666666666665 * Float64(1.0 / Float64(sin(x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(4.0 / Float64(x * x))))));
	elseif (x <= 9600000.0)
		tmp = Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / Float64(0.75 + Float64(-0.09375 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(8.0 / sin(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -4e-5)
		tmp = 2.6666666666666665 * (1.0 / (sin(x) * (0.3333333333333333 + (4.0 / (x * x)))));
	elseif (x <= 9600000.0)
		tmp = sin((x * 0.5)) / (0.75 + (-0.09375 * (x * x)));
	else
		tmp = 8.0 / sin(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -4e-5], N[(2.6666666666666665 * N[(1.0 / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(4.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 9600000.0], N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(0.75 + N[(-0.09375 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(8.0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 98.9%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 97.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 68.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 51.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 51.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 51.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 51.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 51.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 0.0%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 97.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 98.9%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      2. pow-flip 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-2\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 17.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 17.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{{x}^{2}}}\right)} \]

      2. metadata-eval 17.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{4}}{{x}^{2}}\right)} \]

      3. unpow2 17.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)} \]

   10. Simplified 17.7%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}} \]

   if -4.00000000000000033e-5 < x < 9.6e6

   1. Initial program 60.5%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 60.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 2.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 9.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 6.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 9.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 60.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. associate-/l/ 99.3%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   5. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 96.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot {x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. unpow2 96.4%

         \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

   8. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   if 9.6e6 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.8%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 98.5%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 41.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 41.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 41.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 41.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 41.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 54.1%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.5%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 98.7%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 98.6%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      2. pow-flip 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-2\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 16.3%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 16.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{{x}^{2}}}\right)} \]

      2. metadata-eval 16.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{4}}{{x}^{2}}\right)} \]

      3. unpow2 16.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)} \]

   10. Simplified 16.3%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 16.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{\sin x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 9600000:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75 + -0.09375 \cdot \left(x \cdot x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \end{array} \]

Alternative 16: 58.1% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -27000 \lor \neg \left(x \leq 9600000\right):\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -27000.0) (not (<= x 9600000.0)))
   (/ 8.0 (sin x))
   (/ 2.6666666666666665 (+ (* x -0.3333333333333333) (* 4.0 (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -27000.0) || !(x <= 9600000.0)) {
		tmp = 8.0 / sin(x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-27000.0d0)) .or. (.not. (x <= 9600000.0d0))) then
        tmp = 8.0d0 / sin(x)
    else
        tmp = 2.6666666666666665d0 / ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (4.0d0 * (1.0d0 / x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -27000.0) || !(x <= 9600000.0)) {
		tmp = 8.0 / Math.sin(x);
	} else {
		tmp = 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -27000.0) or not (x <= 9600000.0):
		tmp = 8.0 / math.sin(x)
	else:
		tmp = 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -27000.0) || !(x <= 9600000.0))
		tmp = Float64(8.0 / sin(x));
	else
		tmp = Float64(2.6666666666666665 / Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(4.0 * Float64(1.0 / x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -27000.0) || ~((x <= 9600000.0)))
		tmp = 8.0 / sin(x);
	else
		tmp = 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -27000.0], N[Not[LessEqual[x, 9600000.0]], $MachinePrecision]], N[(8.0 / N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.6666666666666665 / N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -27000 or 9.6e6 < x

   1. Initial program 98.8%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

      2. clear-num 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. sqr-sin-a 98.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      4. add-sqr-sqrt 37.2%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      5. sqrt-unprod 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      6. swap-sqr 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      7. metadata-eval 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      8. metadata-eval 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 45.7%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      10. sqrt-unprod 24.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      11. add-sqr-sqrt 98.2%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

      12. sqr-sin-a 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      13. pow2 98.8%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   5. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. div-inv 98.8%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot \frac{1}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

      2. pow-flip 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\left(-2\right)}}} \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{\color{blue}{-2}}} \]

   7. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sin x \cdot {\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{-2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 16.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{4 \cdot 1}{{x}^{2}}}\right)} \]

      2. metadata-eval 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{4}}{{x}^{2}}\right)} \]

      3. unpow2 16.1%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \left(0.3333333333333333 + \frac{4}{\color{blue}{x \cdot x}}\right)} \]

   10. Simplified 16.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + \frac{4}{x \cdot x}\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf 16.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{\sin x}} \]

   if -27000 < x < 9.6e6

   1. Initial program 61.3%

      \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      2. associate-*r/ 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

      3. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

      4. associate-/l* 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

      5. sqr-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

      6. sin-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      7. distribute-lft-neg-out 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

      8. sin-neg 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      9. distribute-lft-neg-out 61.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

      10. associate-*r/ 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

      11. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      12. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      13. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

      14. distribute-lft-neg-out 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

      15. distribute-rgt-neg-in 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

      16. metadata-eval 99.4%

          \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

      2. associate-/r/ 99.4%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      3. clear-num 99.3%

         \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      4. un-div-inv 99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      5. associate-/l/ 61.3%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

      6. sqr-sin-a 11.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

      7. add-sqr-sqrt 4.4%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

      8. sqrt-unprod 11.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      9. swap-sqr 11.1%

         \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

      10. metadata-eval 11.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

      11. metadata-eval 11.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      12. swap-sqr 11.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

      13. sqrt-unprod 6.6%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

      14. add-sqr-sqrt 11.1%

          \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   5. Applied egg-rr 61.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 94.9%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot x + 4 \cdot \frac{1}{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -27000 \lor \neg \left(x \leq 9600000\right):\\ \;\;\;\;\frac{8}{\sin x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2.6666666666666665}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}}\\ \end{array} \]

Alternative 17: 55.8% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (sin (* x 0.5)) 0.75))

C

double code(double x) {
	return sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = sin((x * 0.5d0)) / 0.75d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sin((x * 0.5)) / 0.75;
}

Python

def code(x):
	return math.sin((x * 0.5)) / 0.75

Julia

function code(x)
	return Float64(sin(Float64(x * 0.5)) / 0.75)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sin((x * 0.5)) / 0.75;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 0.75), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 79.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 52.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 20.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 15.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 52.6%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 79.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. associate-/l/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}{2.6666666666666665}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 55.1%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\color{blue}{0.75}} \]

7. Final simplification 55.1%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{0.75} \]

Alternative 18: 52.0% accurate, 28.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2.6666666666666665}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 2.6666666666666665 (+ (* x -0.3333333333333333) (* 4.0 (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.6666666666666665d0 / ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (4.0d0 * (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.6666666666666665 / Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(4.0 * Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.6666666666666665 / ((x * -0.3333333333333333) + (4.0 * (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.6666666666666665 / N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(4.0 * N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x} \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)\right)} \]

   2. associate-/r/ 99.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. clear-num 99.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   4. un-div-inv 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   5. associate-/l/ 79.2%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   6. sqr-sin-a 52.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   7. add-sqr-sqrt 20.0%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   8. sqrt-unprod 27.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   10. metadata-eval 27.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   11. metadata-eval 27.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   12. swap-sqr 27.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   13. sqrt-unprod 15.1%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   14. add-sqr-sqrt 52.6%

       \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

5. Applied egg-rr 79.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 51.5%

   \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot x + 4 \cdot \frac{1}{x}}} \]

7. Final simplification 51.5%

   \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{x \cdot -0.3333333333333333 + 4 \cdot \frac{1}{x}} \]

Alternative 19: 51.3% accurate, 62.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2.6666666666666665}{\frac{4}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.6666666666666665 (/ 4.0 x)))

C

double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 / (4.0 / x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.6666666666666665d0 / (4.0d0 / x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.6666666666666665 / (4.0 / x);
}

Python

def code(x):
	return 2.6666666666666665 / (4.0 / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(2.6666666666666665 / Float64(4.0 / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.6666666666666665 / (4.0 / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.6666666666666665 / N[(4.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. associate-*r/ 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{8}{3} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   3. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

   4. associate-/l* 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x}} \]

   5. sqr-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}}{\sin x} \]

   6. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   7. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \left(-\sin \left(x \cdot 0.5\right)\right)}{\sin x} \]

   8. sin-neg 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   9. distribute-lft-neg-out 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sin x} \]

   10. associate-*r/ 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right)} \]

   11. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   12. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   13. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(-x\right) \cdot 0.5\right)}{\sin x}\right) \]

   14. distribute-lft-neg-out 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(-x \cdot 0.5\right)}}{\sin x}\right) \]

   15. distribute-rgt-neg-in 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5\right)\right)}}{\sin x}\right) \]

   16. metadata-eval 99.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{-0.5}\right)}{\sin x}\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.6666666666666665 \cdot \left(\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 79.2%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}{\sin x}} \]

   2. clear-num 79.1%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot -0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot -0.5\right)}}} \]

   3. sqr-sin-a 52.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right)}}} \]

   4. add-sqr-sqrt 20.0%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot -0.5} \cdot \sqrt{x \cdot -0.5}\right)}\right)}} \]

   5. sqrt-unprod 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot -0.5\right) \cdot \left(x \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   6. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 \cdot -0.5\right)}}\right)}} \]

   7. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.25}}\right)}} \]

   8. metadata-eval 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   9. swap-sqr 27.6%

      \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5\right)}}\right)}} \]

   10. sqrt-unprod 15.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.5} \cdot \sqrt{x \cdot 0.5}\right)}\right)}} \]

   11. add-sqr-sqrt 52.6%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right)}\right)}} \]

   12. sqr-sin-a 79.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{\sin \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   13. pow2 79.1%

       \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{\color{blue}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

5. Applied egg-rr 79.1%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\sin x}{{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}^{2}}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0 50.8%

   \[\leadsto 2.6666666666666665 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{4}{x}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv 50.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{4}{x}}} \]

8. Applied egg-rr 50.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665}{\frac{4}{x}}} \]

9. Final simplification 50.8%

   \[\leadsto \frac{2.6666666666666665}{\frac{4}{x}} \]

Alternative 20: 51.4% accurate, 104.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.6666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.6666666666666666))

C

double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.6666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.6666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.6666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.6666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.6666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.2%

   \[\frac{\left(\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\sin x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{8}{3} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

   2. metadata-eval 99.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2.6666666666666665} \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}} \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2.6666666666666665 \cdot \sin \left(x \cdot 0.5\right)}{\frac{\sin x}{\sin \left(x \cdot 0.5\right)}}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 50.8%

   \[\leadsto \color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 50.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

6. Simplified 50.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666} \]

7. Final simplification 50.8%

   \[\leadsto x \cdot 0.6666666666666666 \]

Developer target: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(x \cdot 0.5\right)\\ \frac{\frac{8 \cdot t_0}{3}}{\frac{\sin x}{t_0}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* x 0.5)))) (/ (/ (* 8.0 t_0) 3.0) (/ (sin x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = sin((x * 0.5d0))
    code = ((8.0d0 * t_0) / 3.0d0) / (sin(x) / t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sin((x * 0.5));
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (Math.sin(x) / t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sin((x * 0.5))
	return ((8.0 * t_0) / 3.0) / (math.sin(x) / t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = sin(Float64(x * 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(8.0 * t_0) / 3.0) / Float64(sin(x) / t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sin((x * 0.5));
	tmp = ((8.0 * t_0) / 3.0) / (sin(x) / t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(x * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(8.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023268 
(FPCore (x)
  :name "Graphics.Rasterific.Svg.PathConverter:segmentToBezier from rasterific-svg-0.2.3.1, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (/ (* 8.0 (sin (* x 0.5))) 3.0) (/ (sin x) (sin (* x 0.5))))

  (/ (* (* (/ 8.0 3.0) (sin (* x 0.5))) (sin (* x 0.5))) (sin x)))