UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.8%

Time: 22.3s

Alternatives: 13

Speedup: 0.9×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos - maxCos \cdot ux\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(-0.6666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- maxCos (* maxCos ux))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* t_0 (+ ux -1.0)))))))
     (+
      (* xi (cos (* 3.0 (log1p (expm1 (* -0.6666666666666666 (* PI uy)))))))
      (* yi (sin (cbrt (* (pow (* PI 2.0) 3.0) (pow uy 3.0))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos - (maxCos * ux);
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (t_0 * (ux + -1.0f))))))) * ((xi * cosf((3.0f * log1pf(expm1f((-0.6666666666666666f * (((float) M_PI) * uy))))))) + (yi * sinf(cbrtf((powf((((float) M_PI) * 2.0f), 3.0f) * powf(uy, 3.0f))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(t_0 * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(3.0) * log1p(expm1(Float32(Float32(-0.6666666666666666) * Float32(Float32(pi) * uy))))))) + Float32(yi * sin(cbrt(Float32((Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0)))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)}^{3}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-pow 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow1/3 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   5. log-pow 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   6. add-log-exp 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)}\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)}\right)\right) \]

   2. add-cbrt-cube 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}} \cdot uy\right)\right)\right) \]

   3. add-cbrt-cube 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy}}\right)\right)\right) \]

   4. cbrt-unprod 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)}\right)\right) \]

   5. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3}} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)}}^{3} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{uy}^{3}}}\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. log1p-expm1-u 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot -2\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\pi \cdot uy\right) \cdot \left(-2 \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

    5. metadata-eval 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{-0.6666666666666666}\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\pi \cdot uy\right) \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - maxCos \cdot ux, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(-0.6666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 98.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos - maxCos \cdot ux\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) + xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(-0.6666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- maxCos (* maxCos ux))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* t_0 (+ ux -1.0)))))))
     (+
      (* yi (sin (cbrt (* (pow (* PI 2.0) 3.0) (pow uy 3.0)))))
      (* xi (cos (* 3.0 (* -0.6666666666666666 (* PI uy))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos - (maxCos * ux);
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (t_0 * (ux + -1.0f))))))) * ((yi * sinf(cbrtf((powf((((float) M_PI) * 2.0f), 3.0f) * powf(uy, 3.0f))))) + (xi * cosf((3.0f * (-0.6666666666666666f * (((float) M_PI) * uy))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(t_0 * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(yi * sin(cbrt(Float32((Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)) ^ Float32(3.0)) * (uy ^ Float32(3.0)))))) + Float32(xi * cos(Float32(Float32(3.0) * Float32(Float32(-0.6666666666666666) * Float32(Float32(pi) * uy))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

5. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)}^{3}\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-pow 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}}\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow1/3 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   5. log-pow 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)}\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

   6. add-log-exp 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)}\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right)} + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)}\right)\right) \]

   2. add-cbrt-cube 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}} \cdot uy\right)\right)\right) \]

   3. add-cbrt-cube 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy}}\right)\right)\right) \]

   4. cbrt-unprod 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)}\right)\right) \]

   5. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(2 \cdot \pi\right)}^{3}} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)}}^{3} \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow3 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{uy}^{3}}}\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)}\right)\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0 98.8%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(3 \cdot \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - maxCos \cdot ux, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(\sqrt[3]{{\left(\pi \cdot 2\right)}^{3} \cdot {uy}^{3}}\right) + xi \cdot \cos \left(3 \cdot \left(-0.6666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot t_0\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + \left(ux \cdot zi\right) \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* maxCos (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* uy (* PI 2.0)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* (* ux (* ux t_0)) (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* (* ux zi) t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos * (1.0f - ux);
	float t_1 = uy * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float t_2 = sqrtf((1.0f + ((ux * (ux * t_0)) * (maxCos * (ux + -1.0f)))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + ((ux * zi) * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(ux * t_0)) * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(Float32(ux * zi) * t_0))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)}\right)\right) + \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \]

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos - maxCos \cdot ux\\ \mathsf{fma}\left(t_0, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- maxCos (* maxCos ux))))
   (fma
    t_0
    (* ux zi)
    (*
     (sqrt (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* t_0 (+ ux -1.0)))))))
     (+ (* xi (cos (* PI (* uy -2.0)))) (* yi (sin (* uy (* PI 2.0)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos - (maxCos * ux);
	return fmaf(t_0, (ux * zi), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (t_0 * (ux + -1.0f))))))) * ((xi * cosf((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)))) + (yi * sinf((uy * (((float) M_PI) * 2.0f)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux))
	return fma(t_0, Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(t_0 * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))))) + Float32(yi * sin(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - maxCos \cdot ux, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))) (* yi (sin t_1)))
    (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))) (t_1 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (+ (* xi (* (cos t_1) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))) (* yi (sin t_1)))
    (* zi (* (* maxCos ux) (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	float t_1 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((xi * (cosf(t_1) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf(t_1))) + (zi * ((maxCos * ux) * (1.0f - ux)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(t_1))) + Float32(zi * Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	t_1 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((xi * (cos(t_1) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin(t_1))) + (zi * ((maxCos * ux) * (single(1.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in maxCos around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

6. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + zi \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \]

Alternative 7: 98.6% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(yi \cdot \sin t_0 + xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux))))
    (+
     (* yi (sin t_0))
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux)))) + ((yi * sinf(t_0)) + (xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux)))) + ((yi * sin(t_0)) + (xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right)\right) \]

Alternative 8: 90.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux))))
    (+
     (* xi (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))))
     (* uy (* 2.0 (* PI yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (ux + -1.0f));
	return (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux)))) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (uy * (2.0f * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)));
	tmp = (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux)))) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (uy * (single(2.0) * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in uy around 0 90.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. associate-*l* 90.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 90.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)} \cdot 2\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 90.4%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 81.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(maxCos - maxCos \cdot ux, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (- maxCos (* maxCos ux))
  (* ux zi)
  (*
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
   (+ xi (* 2.0 (* PI (* uy yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf((maxCos - (maxCos * ux)), (ux * zi), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * (xi + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux)), Float32(ux * zi), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in ux around 0 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

6. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in uy around 0 90.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

9. Simplified 90.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

10. Taylor expanded in uy around 0 84.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - ux \cdot maxCos, ux \cdot zi, \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(-maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \color{blue}{1} + 2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 84.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(maxCos - maxCos \cdot ux, ux \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 10: 52.1% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* ux (* maxCos ux))) (+ ux -1.0)))))
  (* ux (* (- maxCos (* maxCos ux)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (ux * (maxCos * ux))) * (ux + -1.0f))))), (ux * ((maxCos - (maxCos * ux)) * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(ux * Float32(Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux)) * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 63.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 63.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 63.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 11: 52.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* ux (* maxCos ux))) (+ ux -1.0)))))
  (* ux (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (ux * (maxCos * ux))) * (ux + -1.0f))))), (ux * ((1.0f - ux) * (maxCos * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 63.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 63.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 63.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0 57.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 57.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \]

Alternative 12: 52.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (+ 1.0 (* (* maxCos (* ux (* maxCos ux))) (+ ux -1.0)))))
  (* ux (* maxCos (* zi (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f + ((maxCos * (ux * (maxCos * ux))) * (ux + -1.0f))))), (ux * (maxCos * (zi * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(maxCos * ux))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))), Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(zi * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 63.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 63.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 63.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in maxCos around -inf 57.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\left(-1 \cdot ux + 1\right) \cdot zi\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 57.3%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 13: 52.0% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  1.0
  (* xi (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux)))))
  (* ux (* (- maxCos (* maxCos ux)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(1.0f, (xi * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux))))), (ux * ((maxCos - (maxCos * ux)) * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(Float32(1.0), Float32(xi * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))), Float32(ux * Float32(Float32(maxCos - Float32(maxCos * ux)) * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \mathsf{fma}\left(\sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), yi, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 63.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 63.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right) \]

   3. associate-*l* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \cdot ux}\right) \]

   4. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   5. associate-*r* 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right) \]

   6. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

   7. *-commutative 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   8. sub-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg 63.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + \color{blue}{-1 \cdot ux}\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-rgt-identity 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(\color{blue}{maxCos} + maxCos \cdot \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + maxCos \cdot \color{blue}{\left(-ux\right)}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot ux\right)}\right)\right)\right) \]

   14. unsub-neg 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative 63.3%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - \color{blue}{ux \cdot maxCos}\right)\right)\right) \]

6. Simplified 63.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 63.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in uy around 0 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{1}, \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in ux around 0 57.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 57.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 57.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 57.2%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

11. Simplified 57.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}} \cdot xi, ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

12. Final simplification 57.2%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(1, xi \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}, ux \cdot \left(\left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023263 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))