2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 53.0% → 98.7%

Time: 10.2s

Alternatives: 16

Speedup: 1.9×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 2e-6)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
      (* (/ (cbrt x) (* x x)) -0.1111111111111111))
     (/
      1.0
      (+
       (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))
       (exp (* 0.6666666666666666 (log1p x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 2e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)) + exp((0.6666666666666666 * log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 2e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((Math.cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)) + Math.exp((0.6666666666666666 * Math.log1p(x))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 2e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x)) + Float64(Float64(cbrt(x) / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0)) + exp(Float64(0.6666666666666666 * log1p(x)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-6], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Exp[N[(0.6666666666666666 * N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 5.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      2. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

      3. associate-+l+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-prod 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. add-cbrt-cube 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. unpow-1 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. cbrt-div 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. cbrt-div 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. add-cbrt-cube 99.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-\frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\frac{1}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right)}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

      2. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}} \]

      3. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}} \]

      4. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

      5. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{\log \left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      2. log-pow 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{e^{\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      3. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{e^{2 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      4. log-pow 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{e^{2 \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \log \left(1 + x\right)\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

      5. log1p-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{\color{blue}{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

       2. metadata-eval 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{e^{\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

   11. Simplified 99.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right) + e^{0.6666666666666666 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, 1 - x\right)}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 0.0002)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
    (* (/ (cbrt x) (* x x)) -0.1111111111111111))
   (- (/ (cbrt (+ 1.0 (pow x 3.0))) (cbrt (fma x x (- 1.0 x)))) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0002) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = (cbrt((1.0 + pow(x, 3.0))) / cbrt(fma(x, x, (1.0 - x)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0002)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x)) + Float64(Float64(cbrt(x) / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(Float64(cbrt(Float64(1.0 + (x ^ 3.0))) / cbrt(fma(x, x, Float64(1.0 - x)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0002], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[N[(1.0 + N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[N[(x * x + N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 2.0000000000000001e-4

   1. Initial program 5.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      2. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

      3. associate-+l+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-prod 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. add-cbrt-cube 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. unpow-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. add-cbrt-cube 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-\frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\frac{1}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. neg-mul-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right)}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 98.9%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 2.0000000000000001e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-+ 99.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{{x}^{3} + {1}^{3}}{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. cbrt-div 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{x}^{3} + {1}^{3}}}{\sqrt[3]{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. pow3 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot x} + {1}^{3}}}{\sqrt[3]{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\left(x \cdot x\right) \cdot x + \color{blue}{1}}}{\sqrt[3]{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot x}}}{\sqrt[3]{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. pow3 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 + \color{blue}{{x}^{3}}}}{\sqrt[3]{x \cdot x + \left(1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. fma-def 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 1 \cdot 1 - x \cdot 1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      8. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{1} - x \cdot 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      9. *-rgt-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, 1 - \color{blue}{x}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   3. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, 1 - x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{1 + {x}^{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, 1 - x\right)}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 98.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 2e-6)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
      (* (/ (cbrt x) (* x x)) -0.1111111111111111))
     (/
      1.0
      (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 2e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow((1.0 + x), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 2e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x)) + Float64(Float64(cbrt(x) / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-6], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 5.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      2. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

      3. associate-+l+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-prod 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. add-cbrt-cube 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. unpow-1 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. cbrt-div 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. cbrt-div 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 99.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. add-cbrt-cube 99.1%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-\frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. associate-/r/ 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\frac{1}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. neg-mul-1 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right)}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. remove-double-neg 99.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 99.1%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left({\left(1 + x\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

      2. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left({\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      3. pow-pow 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} \]

      4. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)} \]

      5. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(1 + x\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}}\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.1%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 50.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. cbrt-unprod 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. pow2 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. distribute-rgt-out 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   8. +-commutative 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

3. Applied egg-rr 51.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 51.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 51.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 75.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 75.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 75.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 75.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

   8. fma-def 75.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

   9. +-commutative 75.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

   10. +-commutative 75.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 75.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 74.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

   2. expm1-udef 74.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

   3. +-commutative 74.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

   4. pow2 74.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

   5. cbrt-prod 96.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

   6. pow2 96.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

   7. +-commutative 96.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

7. Applied egg-rr 96.8%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 96.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

   2. expm1-log1p 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

10. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \]

Alternative 5: 98.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 0.0002)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
    (* (/ (cbrt x) (* x x)) -0.1111111111111111))
   (- (pow (exp 0.3333333333333333) (log1p x)) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0002) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = pow(exp(0.3333333333333333), log1p(x)) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x)) <= 0.0002) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((Math.cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = Math.pow(Math.exp(0.3333333333333333), Math.log1p(x)) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 0.0002)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x)) + Float64(Float64(cbrt(x) / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64((exp(0.3333333333333333) ^ log1p(x)) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0002], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[Exp[0.3333333333333333], $MachinePrecision], N[Log[1 + x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 2.0000000000000001e-4

   1. Initial program 5.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      2. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

      3. associate-+l+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-prod 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. add-cbrt-cube 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. unpow-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. add-cbrt-cube 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-\frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\frac{1}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. neg-mul-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right)}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 98.9%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 2.0000000000000001e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. pow1/3 99.5%

         \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. log-pow 99.5%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(x + 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. +-commutative 99.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. log1p-udef 99.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   3. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. exp-prod 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 0.0002)
     (+
      (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
      (* (/ (cbrt x) (* x x)) -0.1111111111111111))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0002) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0002) {
		tmp = (0.3333333333333333 * (Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0)) / x)) + ((Math.cbrt(x) / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0002)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x)) + Float64(Float64(cbrt(x) / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0002], N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 2.0000000000000001e-4

   1. Initial program 5.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      2. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

      3. associate-+l+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-prod 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. add-cbrt-cube 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. unpow-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      6. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      7. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{\frac{-1}{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      8. cbrt-div 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      9. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      10. metadata-eval 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      11. add-cbrt-cube 98.9%

          \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-1 \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{x}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   8. Applied egg-rr 98.9%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{-\frac{1}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x}}}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      2. associate-/r/ 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\frac{1}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      3. metadata-eval 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{-1} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      4. neg-mul-1 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{-\color{blue}{\left(-\sqrt[3]{x}\right)}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

      5. remove-double-neg 98.9%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   10. Simplified 98.9%

       \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111 \]

   if 2.0000000000000001e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0002:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 99.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x}\\ \frac{1}{{t_0}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ 1.0 x))))
   (/ 1.0 (+ (pow t_0 2.0) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / (pow(t_0, 2.0) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x));
	return 1.0 / (Math.pow(t_0, 2.0) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(1.0 + x))
	return Float64(1.0 / Float64((t_0 ^ 2.0) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 50.1%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 50.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. cbrt-unprod 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. pow2 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. distribute-rgt-out 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   8. +-commutative 51.6%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

3. Applied egg-rr 51.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 51.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 51.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 75.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 75.5%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 75.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 75.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

   8. fma-def 75.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

   9. +-commutative 75.4%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

   10. +-commutative 75.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 75.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 75.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

   2. +-commutative 75.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}} \]

   3. pow2 75.5%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}} \]

   4. cbrt-prod 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} \]

   5. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   6. pow2 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   8. +-commutative 99.1%

      \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

7. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)} \]

Alternative 8: 99.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 2e-6)
     (* 0.3333333333333333 (/ (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0))) x))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0)) / x);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0)) / x);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 2e-6)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0))) / x));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 2e-6], N[(0.3333333333333333 * N[(N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 5.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

   6. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 98.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 2e-6) (/ 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 2.0)) t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 / pow(cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 2e-6)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / (cbrt(x) ^ 2.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 2e-6], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 5.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.6%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 52.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 52.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-div 52.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 52.5%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}} \]

      3. cbrt-prod 97.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      4. un-div-inv 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      5. pow2 97.8%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   8. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 10: 95.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.245\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}^{3}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 0.245)))
   (/ 0.3333333333333333 (pow (cbrt x) 2.0))
   (/ 1.0 (pow (+ 1.0 (* x 0.2222222222222222)) 3.0))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.245)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / pow(cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / pow((1.0 + (x * 0.2222222222222222)), 3.0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.245)) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0);
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow((1.0 + (x * 0.2222222222222222)), 3.0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.245))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / (cbrt(x) ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(1.0 + Float64(x * 0.2222222222222222)) ^ 3.0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 0.245]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(1.0 + N[(x * 0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 0.245 < x

   1. Initial program 7.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cbrt-div 52.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 52.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x \cdot x}} \]

      3. cbrt-prod 96.1%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      4. un-div-inv 96.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

      5. pow2 96.1%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   8. Applied egg-rr 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}} \]

   if -1 < x < 0.245

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      4. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      5. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cube-cbrt 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

       2. pow3 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   11. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{{\color{blue}{\left(1 + 0.2222222222222222 \cdot x\right)}}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 96.5%

          \[\leadsto \frac{1}{{\left(1 + \color{blue}{x \cdot 0.2222222222222222}\right)}^{3}} \]

   14. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{{\color{blue}{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}}^{3}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.245\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}^{3}}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 72.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.245:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.0)
   (* 0.3333333333333333 (/ -1.0 (cbrt (* x (- x)))))
   (if (<= x 0.245)
     (/ 1.0 (pow (+ 1.0 (* x 0.2222222222222222)) 3.0))
     (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.0) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (-1.0 / cbrt((x * -x)));
	} else if (x <= 0.245) {
		tmp = 1.0 / pow((1.0 + (x * 0.2222222222222222)), 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.0) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (-1.0 / Math.cbrt((x * -x)));
	} else if (x <= 0.245) {
		tmp = 1.0 / Math.pow((1.0 + (x * 0.2222222222222222)), 3.0);
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.0)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(-1.0 / cbrt(Float64(x * Float64(-x)))));
	elseif (x <= 0.245)
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(1.0 + Float64(x * 0.2222222222222222)) ^ 3.0));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.0], N[(0.3333333333333333 * N[(-1.0 / N[Power[N[(x * (-x)), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.245], N[(1.0 / N[Power[N[(1.0 + N[(x * 0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1

   1. Initial program 5.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 0.0%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 0.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{-x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{-x \cdot x}} \]

      3. cbrt-div 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      5. metadata-eval 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      6. add-cbrt-cube 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      7. distribute-rgt-neg-in 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 58.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   if -1 < x < 0.245

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      4. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      5. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cube-cbrt 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

       2. pow3 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   11. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{{\color{blue}{\left(1 + 0.2222222222222222 \cdot x\right)}}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 96.5%

          \[\leadsto \frac{1}{{\left(1 + \color{blue}{x \cdot 0.2222222222222222}\right)}^{3}} \]

   14. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{{\color{blue}{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}}^{3}} \]

   if 0.245 < x

   1. Initial program 9.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 9.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 9.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 9.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 9.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 9.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 9.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 43.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 46.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 46.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.245:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x \cdot 0.2222222222222222\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 72.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 0.24)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 0.24]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 0.23999999999999999 < x

   1. Initial program 7.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1 < x < 0.23999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      4. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      5. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cube-cbrt 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

       2. pow3 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   11. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x + 1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 72.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.24:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.0)
   (* 0.3333333333333333 (/ -1.0 (cbrt (* x (- x)))))
   (if (<= x 0.24)
     (/ 1.0 (+ 1.0 (* x 0.6666666666666666)))
     (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.0) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (-1.0 / cbrt((x * -x)));
	} else if (x <= 0.24) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.0) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (-1.0 / Math.cbrt((x * -x)));
	} else if (x <= 0.24) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.0)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(-1.0 / cbrt(Float64(x * Float64(-x)))));
	elseif (x <= 0.24)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * 0.6666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.0], N[(0.3333333333333333 * N[(-1.0 / N[Power[N[(x * (-x)), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.24], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1

   1. Initial program 5.2%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 0.0%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 0.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 0.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 0.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{-1}{-x \cdot x}}} \]

      2. metadata-eval 58.7%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{-1}}{-x \cdot x}} \]

      3. cbrt-div 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot -1}}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      5. metadata-eval 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(-1 \cdot -1\right)} \cdot -1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      6. add-cbrt-cube 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{\color{blue}{-1}}{\sqrt[3]{-x \cdot x}} \]

      7. distribute-rgt-neg-in 58.8%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   8. Applied egg-rr 58.8%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}} \]

   if -1 < x < 0.23999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      4. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      5. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cube-cbrt 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

       2. pow3 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   11. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x + 1}} \]

   if 0.23999999999999999 < x

   1. Initial program 9.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 9.3%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 9.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 9.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 9.3%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 7.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 9.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 9.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 9.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 9.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 43.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 46.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 46.6%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 46.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \frac{-1}{\sqrt[3]{x \cdot \left(-x\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.24:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \end{array} \]

Alternative 14: 70.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{-0.3333333333333333}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 0.24)))
   (* 0.3333333333333333 (pow (* x x) -0.3333333333333333))
   (/ 1.0 (+ 1.0 (* x 0.6666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow((x * x), -0.3333333333333333);
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-1.0d0)) .or. (.not. (x <= 0.24d0))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * ((x * x) ** (-0.3333333333333333d0))
    else
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (x * 0.6666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow((x * x), -0.3333333333333333);
	} else {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -1.0) or not (x <= 0.24):
		tmp = 0.3333333333333333 * math.pow((x * x), -0.3333333333333333)
	else:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.24))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (Float64(x * x) ^ -0.3333333333333333));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1.0) || ~((x <= 0.24)))
		tmp = 0.3333333333333333 * ((x * x) ^ -0.3333333333333333);
	else
		tmp = 1.0 / (1.0 + (x * 0.6666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 0.24]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], -0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 0.23999999999999999 < x

   1. Initial program 7.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 5.0%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 5.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 5.0%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 3.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 5.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 52.2%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 52.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 49.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      2. inv-pow 49.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\color{blue}{\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

      3. pow-pow 49.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{\left(-1 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

      4. metadata-eval 49.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{-0.3333333333333333}} \]

   8. Applied egg-rr 49.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{-0.3333333333333333}} \]

   if -1 < x < 0.23999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)} - 1}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{{\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      4. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}}\right)} - 1\right)} \]

      5. cbrt-prod 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}\right)} - 1\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}}\right)} - 1\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}}\right)}^{2}\right)} - 1\right)} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} - 1}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}\right)} \]

      2. expm1-log1p 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-cube-cbrt 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

       2. pow3 99.8%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   11. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}\right)}^{3}}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0 96.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot x + 1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.24\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{-0.3333333333333333}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + x \cdot 0.6666666666666666}\\ \end{array} \]

Alternative 15: 3.6% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 50.1%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 3.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

3. Final simplification 3.6%

   \[\leadsto 0 \]

Alternative 16: 49.6% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 50.1%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 48.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 48.0%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023261 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))