Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 53.3% → 99.6%

Time: 5.4s

Alternatives: 8

Speedup: 18.7×

• 48.7% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 1e-6)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 6.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 92.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_2 := \frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{t_0 - 2}}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{t_0}^{3} + 8}{t_0 \cdot t_0 + \left(4 - 2 \cdot t_0\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+102}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* x (* x (* x 0.16666666666666666))))
        (t_2
         (/
          (* x (/ (- (* t_0 (* 0.3333333333333333 (* x x))) 4.0) (- t_0 2.0)))
          2.0)))
   (if (<= x -5e+154)
     t_1
     (if (<= x -2e+77)
       t_2
       (if (<= x 2e+77)
         (/
          (* x (/ (+ (pow t_0 3.0) 8.0) (+ (* t_0 t_0) (- 4.0 (* 2.0 t_0)))))
          2.0)
         (if (<= x 1e+102) t_2 t_1))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	double t_2 = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -5e+154) {
		tmp = t_1;
	} else if (x <= -2e+77) {
		tmp = t_2;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((pow(t_0, 3.0) + 8.0) / ((t_0 * t_0) + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 1e+102) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    t_2 = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) - 4.0d0) / (t_0 - 2.0d0))) / 2.0d0
    if (x <= (-5d+154)) then
        tmp = t_1
    else if (x <= (-2d+77)) then
        tmp = t_2
    else if (x <= 2d+77) then
        tmp = (x * (((t_0 ** 3.0d0) + 8.0d0) / ((t_0 * t_0) + (4.0d0 - (2.0d0 * t_0))))) / 2.0d0
    else if (x <= 1d+102) then
        tmp = t_2
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	double t_2 = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -5e+154) {
		tmp = t_1;
	} else if (x <= -2e+77) {
		tmp = t_2;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((Math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / ((t_0 * t_0) + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 1e+102) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	t_2 = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0
	tmp = 0
	if x <= -5e+154:
		tmp = t_1
	elif x <= -2e+77:
		tmp = t_2
	elif x <= 2e+77:
		tmp = (x * ((math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / ((t_0 * t_0) + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0
	elif x <= 1e+102:
		tmp = t_2
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
	t_2 = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) - 4.0) / Float64(t_0 - 2.0))) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e+154)
		tmp = t_1;
	elseif (x <= -2e+77)
		tmp = t_2;
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(4.0 - Float64(2.0 * t_0))))) / 2.0);
	elseif (x <= 1e+102)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	t_2 = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5e+154)
		tmp = t_1;
	elseif (x <= -2e+77)
		tmp = t_2;
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = (x * (((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / ((t_0 * t_0) + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	elseif (x <= 1e+102)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5e+154], t$95$1, If[LessEqual[x, -2e+77], t$95$2, If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(x * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(4.0 - N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e+102], t$95$2, t$95$1]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.00000000000000004e154 or 9.99999999999999977e101 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r/ 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       2. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

       3. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot x\right) \]

   11. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   if -5.00000000000000004e154 < x < -1.99999999999999997e77 or 1.99999999999999997e77 < x < 9.99999999999999977e101

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 52.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 52.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 52.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 52.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 52.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 52.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 52.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 52.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 52.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   if -1.99999999999999997e77 < x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 24.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 81.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 81.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 81.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 81.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 81.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 81.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 81.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 81.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 81.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 81.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip3-+ 89.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 89.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      4. metadata-eval 89.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 89.3%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 88.3% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{t_0 - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333))))
   (if (or (<= x -5e+154) (not (<= x 1e+102)))
     (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
     (/
      (* x (/ (- (* t_0 (* 0.3333333333333333 (* x x))) 4.0) (- t_0 2.0)))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+154) || !(x <= 1e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    if ((x <= (-5d+154)) .or. (.not. (x <= 1d+102))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) - 4.0d0) / (t_0 - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+154) || !(x <= 1e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	tmp = 0
	if (x <= -5e+154) or not (x <= 1e+102):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e+154) || !(x <= 1e+102))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) - 4.0) / Float64(t_0 - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e+154) || ~((x <= 1e+102)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -5e+154], N[Not[LessEqual[x, 1e+102]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5.00000000000000004e154 or 9.99999999999999977e101 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r/ 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       2. associate-*r* 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

       3. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot x\right) \]

   11. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   if -5.00000000000000004e154 < x < 9.99999999999999977e101

   1. Initial program 34.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 77.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 77.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 77.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 77.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 77.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 77.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 77.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 77.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 77.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 83.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 83.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 83.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 83.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 83.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   9. Simplified 83.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 84.5% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.5\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.4) (not (<= x 2.5)))
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.5)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.4d0)) .or. (.not. (x <= 2.5d0))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.5)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.4) or not (x <= 2.5):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.5))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.4) || ~((x <= 2.5)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.4], N[Not[LessEqual[x, 2.5]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.39999999999999991 or 2.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 68.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 68.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 68.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 68.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 68.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 68.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 68.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 68.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 68.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 68.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 68.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 68.4%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 68.4%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 68.4%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r/ 68.4%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       2. associate-*r* 68.4%

          \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

       3. metadata-eval 68.4%

          \[\leadsto x \cdot \left(\left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot x\right) \]

   11. Applied egg-rr 68.4%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   if -2.39999999999999991 < x < 2.5

   1. Initial program 6.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.5\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 84.7% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 84.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 84.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 6: 53.1% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 52.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 52.7%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 7: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 53.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.8%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 8: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.5%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023260 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))